Определение гиперболы
Гипербола определяется как множество точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек (фокусов) является постоянной величиной.
- Фокусы: Точки F₁(-c, 0) и F₂(c, 0).
- Условие: |r₂ - r₁| = 2a, где r₁ и r₂ — расстояния от произвольной точки M(x, y) на гиперболе до фокусов F₁ и F₂ соответственно, а a — положительная константа.
- Вывод уравнения: После преобразований (возведения в квадрат и упрощений) условие приводит к каноническому уравнению.
Каноническое уравнение
Основное уравнение гиперболы, расположенной симметрично относительно осей координат, имеет следующий вид.
x²/a² - y²/b² = 1
- Связь параметров: Для гиперболы выполняется условие c > a. Параметр b определяется соотношением b² = c² - a².
- Отличие от эллипса: В уравнении гиперболы между слагаемыми стоит знак "минус", что принципиально отличает её от эллипса.
Асимптоты гиперболы
Прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при удалении в бесконечность, называются её асимптотами.
- Уравнения асимптот: y = ± (b/a) x.
- Свойство: Разность между ординатой асимптоты (y_мал) и ординатой гиперболы (y_бол) стремится к нулю при x → ∞. Это доказывается анализом предела выражения y_мал - y_бол, который сводится к нулю.