Ваш конспект

Разбор варианта ЕГЭ по математике (профиль)

Ключевые тезисы

• Разбор заданий второй части (параметр, неравенство, экономическая задача, тригонометрия) и первой части.
• Основной акцент на параметре и экономической задаче.
• Для центрального региона возможны модификации в заданиях (особенно в №15 и №13).
• Важна внимательность и аккуратность в оформлении решений.

Задание с параметром (№17)

Алгоритм решения

1. Анализ уравнения. Увидеть квадратное уравнение относительно параметра a.
2. Разложение на множители. Вынести общий множитель (x - 2), используя теорему Безу или деление в столбик.
   • Важно проверить, что x = 2 является корнем.
3. Работа с совокупностью. После вынесения множителя получаем:
   • x = 2 (корень есть всегда при любом a).
   • Квадратное уравнение относительно a.
4. Решение квадратного уравнения. Использовать теорему Виета: a₁ = x², a₂ = x + 2.
5. Графический метод. Перейти в плоскость OxA:
   • Построить прямую x = 2.
   • Построить параболу a = x².
   • Построить прямую a = x + 2.
6. Анализ пересечений. "Сканировать" плоскость горизонтальными прямыми (параллельными оси A) снизу вверх, считая количество точек пересечения с графиками.
   • Условие задачи: ровно два различных решения.
7. Определение промежутков. Найти граничные значения a, где количество решений меняется:
   • a₁ = 0 (пересечение параболы и прямой x+2).
   • a₂ = 4 (значение a на прямой x=2 для параболы a=x²).
8. Ответ: a ∈ (-∞; 0) ∪ {4}.

Важно: При оформлении обязательно пояснять переходы и подписывать графики.

Неравенство с логарифмом (№15)

Идея решения

• Сразу записать ОДЗ: 9 - x² > 0 → x ∈ (-3; 3).
• Применить основное логарифмическое тождество: 5^(log₅(9 - x²)) = 9 - x².
• Возможна модификация для центрального региона: тождество может потребоваться применить в обратную сторону (представить число как степень с основанием логарифма).

Ход решения

1. После применения тождества получаем неравенство: 9 - x² + x⁴ - 29 ≥ 0.
2. Сделать замену: t = x², где t ≥ 0.
3. Решить квадратное неравенство: t² + t - 20 ≥ 0.
   • Корни: t₁ = -5, t₂ = 4.
   • Решение: t ≤ -5 (∅) или t ≥ 4 → x² ≥ 4.
4. Решить неравенство: x² ≥ 4 → (x - 2)(x + 2) ≥ 0.
   • Решение: x ∈ (-∞; -2] ∪ [2; +∞).
5. Учесть ОДЗ. Найти пересечение с x ∈ (-3; 3).
   • Итоговый ответ: x ∈ (-3; -2] ∪ [2; 3).

Экономическая задача (№16)

Тип задачи: "Сломанный" дифференцированный платёж

• Сумма кредита: S.
• Годовая ставка: r% → коэффициент k = 1 + r/100.
• Вводится переменная X — сумма, на которую ежегодно уменьшается долг (кроме "особого" года).

Построение модели (на примере условия)

1. Составить таблицу по годам с тремя столбцами: Долг на начало года, Начисленные проценты, Платёж.
2. Учесть особое условие: "после N-го платежа долг стал на M% меньше, чем долг на ту же дату предыдущего года". Это означает, что остаток составляет (100 - M)% от предыдущего долга.
3. Платёж = Начисленные проценты + Уменьшение долга (разность между долгом на начало года и остатком).
4. Составить систему уравнений:
   • Из условия полного погашения в последний год.
   • Из условия, что общая сумма выплат известна.
5. Выразить одну переменную через другую и решить систему.

Внимание: В ответе указывать сумму в миллионах рублей без слова "млн".

Тригонометрическое уравнение (№13)

Ключевой приём

• Использовать формулы приведения для упрощения.
• Привести уравнение к виду, где можно применить формулу косинуса суммы/разности (из справочных материалов КИМ).
• Часто в итоге получается однородное уравнение, которое сводится к тангенсу.

Пример хода решения

1. sin(3π/2 - x) = -cos x (формула приведения).
2. Применить формулу: cos(x - π/3) = cos x * cos(π/3) + sin x * sin(π/3).
3. После подстановки значений и преобразований получить: -cos x + √3 sin x = 0.
4. Поделить на cos x ≠ 0 (с обязательной оговоркой).
5. Получить: tg x = 1/√3.
6. Общее решение: x = π/6 + πk, k ∈ Z.
7. Для пункта б) отобрать корни на заданном промежутке (например, [-2π; -π/2]).

Первая часть (краткие ориентиры)

• №2 (Геометрия): Сумма противоположных сторон описанного четырёхугольника равна.
• №3 (Векторы): Длина вектора |a - b| вычисляется по теореме Пифагора из координат.
• №5 (Теория вероятностей): Вероятность противоположного события: P(промаха) = 1 - P(попадания). Решение "с конца".
• №8 (Движение): Составить таблицу S = v * t. Внимательно читать условие про остановки.
• №9 (Логарифмы/Степени): Использовать определение логарифма и свойства степеней.
• №10 (Графики):
  • Дан график функции → производная отрицательна, где функция убывает.
  • Дан график производной → смотрим только знак (+/-).
• №12 (Наибольшее/наименьшее значение):
  • Найти производную.
  • Найти критические точки (где f'(x) = 0).
  • Определить характер точек (макс./мин.) с помощью числовой оси.
  • Подставить все критические точки и концы отрезка в исходную функцию.

Выводы

1. Параметр: Главное — не потерять бдительность при разложении на множители и аккуратно работать в параметрической плоскости.
2. Экономика: Внимательно читать условие, особенно про процентные изменения долга. Чётко строить таблицу.
3. Тригонометрия: Уверенно пользоваться формулами приведения и формулами из КИМ.
4. Внимательность: Перепроверять вычисления, особенно в первой части. Не торопиться.
5. Оформление: Чётко прописывать равносильные переходы, ограничения, пояснения к графикам.