Ваш конспект

Разбор сложных задач №19 ЕГЭ по математике

Ключевые тезисы:

• Разбор двух сложных задач на тему "Десятичная запись чисел" и "Манипуляции с цифрами"
• Использование алгебраических преобразований и логических оценок
• Поиск примеров через анализ систем уравнений и ограничений на цифры
• Важность проверки условий и построения контрпримеров

Задача 1: Двузначные числа и перестановка цифр

Условие: На доске написано несколько двузначных натуральных чисел без нулей. Их сумма равна 264. В каждом числе поменяли местами цифры. Нужно:
А) Привести пример, где сумма новых чисел в 4 раза больше исходной (1056).
Б) Выяснить, может ли сумма новых чисел быть в 2 раза больше (528).
В) Найти наибольшее возможное значение суммы новых чисел.

Решение пункта А

1. Алгебраическая модель
Пусть исходные числа: 10a₁ + b₁, 10a₂ + b₂, ..., 10aₙ + bₙ, где aᵢ — десятки, bᵢ — единицы.

• Сумма исходных чисел: 10(a₁+...+aₙ) + (b₁+...+bₙ) = 264.
• После перестановки цифр числа становятся: 10b₁ + a₁, 10b₂ + a₂, ....
• Их сумма: 10(b₁+...+bₙ) + (a₁+...+aₙ) = 1056 (по условию пункта А).

2. Введение замен
Введём обозначения:

• A = a₁ + a₂ + ... + aₙ (сумма всех первых цифр)
• B = b₁ + b₂ + ... + bₙ (сумма всех вторых цифр)

Система упрощается:

10A + B = 264
10B + A = 1056

3. Решение системы
Выразим A из второго уравнения: A = 1056 - 10B.
Подставим в первое: 10(1056 - 10B) + B = 264 → 10560 - 100B + B = 264 → 99B = 10560 - 264 → 99B = 10296 → B = 104.
Тогда A = 1056 - 10*104 = 16.

4. Построение примера

• A = 16 — сумма первых цифр. Минимальная цифра — 1. Чтобы сумма 16 набиралась единицами, нужно 16 чисел.
• B = 104 — сумма вторых цифр. Нужно подобрать 16 цифр (от 1 до 9), дающих в сумме 104.
• Пример: Возьмём 14 чисел с цифрой единиц 7 и 2 числа с цифрой единиц 3.
  • Исходные числа (первая цифра всегда 1): 14 чисел вида 17 и 2 числа вида 13.
  • Проверка суммы исходных: 17*14 + 13*2 = 238 + 26 = 264.
  • Числа после перестановки: 14 чисел 71 и 2 числа 31.
  • Проверка новой суммы: 71*14 + 31*2 = 994 + 62 = 1056.

Решение пункта Б

Условие меняется: сумма новых чисел должна быть 264 * 2 = 528.
Система становится:

10A + B = 264
10B + A = 528

Выражаем B из первого: B = 264 - 10A.
Подставляем во второе: 10(264 - 10A) + A = 528 → 2640 - 100A + A = 528 → 99A = 2640 - 528 → 99A = 2112 → A = 2112 / 99 = 64/3.

Вывод: A получилось нецелым. Но A — сумма натуральных чисел (цифр), значит, должна быть целой. Противоречие. Ответ: Нет, такая ситуация невозможна.

Решение пункта В

Нужно найти максимальную сумму новых чисел (S_max). Система:

10A + B = 264
10B + A = S_max

Выразим S_max через A. Из первого: B = 264 - 10A.
Подставим во второе: S_max = 10*(264 - 10A) + A = 2640 - 99A.

Логика: S_max максимально, когда A минимально. Найдём минимально возможное натуральное A.

Оценка для A:

• A — сумма первых цифр (от 1 до 9).
• B — сумма вторых цифр (от 1 до 9).
• Если A = k, то максимальное количество чисел n_max = k (когда все первые цифры равны 1).
• При таком n_max максимально возможная сумма вторых цифр B_max = 9 * k (когда все вторые цифры равны 9).

Из системы: B = 264 - 10A. Это значение B должно быть достижимо, т.е. B ≤ B_max.

Проверяем значения:

• A = 10 → B = 264 - 100 = 164. Но B_max = 9*10 = 90. 164 > 90 → невозможно.
• A = 11 → B = 154, B_max = 99 → невозможно.
• A = 12 → B = 144, B_max = 108 → невозможно.
• A = 13 → B = 134, B_max = 117 → невозможно.
• A = 14 → B = 124, B_max = 126 → возможно (124 ≤ 126).

Нашли: A_min = 14. Тогда S_max = 2640 - 99*14 = 2640 - 1386 = 1254.

Построение примера для S_max = 1254:

• A = 14: берём 14 чисел, все первые цифры = 1.
• B = 124: нужно подобрать 14 вторых цифр (от 1 до 9) с суммой 124.
• Пример: 13 чисел с цифрой единиц 9 и одно число с цифрой единиц 7.
  • Исходные числа: 13 чисел 19 и одно число 17.
  • Сумма исходных: 19*13 + 17 = 247 + 17 = 264.
  • Числа после перестановки: 13 чисел 91 и одно число 71.
  • Сумма новых чисел: 91*13 + 71 = 1183 + 71 = 1254.

Ответ для пункта В: 1254.

Задача 2: Трёхзначное число и зачёркивание цифр

Условие: Есть трёхзначное число A. Серёжа, зачёркивая одну цифру, получает двузначное число B. Коля, зачёркивая (возможно, другую) одну цифру, получает двузначное число C. Может ли быть так, что A = B * C?

Пункт А (пример)

Да, может. Примеры:

1. A = 625. Если оба зачёркивают первую цифру (6), получают B = C = 25. Тогда 25 * 25 = 625.
2. A = 310. Один зачёркивает первую цифру (3), получает B = 10. Другой зачёркивает последнюю цифру (0), получает C = 31. Тогда 10 * 31 = 310.

Пункт Б (оценка)

Условие: A находится в диапазоне от 440 до 500. Может ли выполняться равенство A = B * C?

Анализ:

• Числа от 440 до 500 имеют первую цифру 4.
• Какие бы цифры мы ни зачёркивали, получающиеся двузначные числа B и C будут не меньше 40.
  • Если зачеркнуть первую цифру: получим числа от 40 до 99 (например, из 473 → 73).
  • Если зачеркнуть вторую или третью цифру: получим числа от 44 до 50 (например, из 473 → 43 или 47).
• Следовательно, минимальные возможные B и C равны 40.
• Тогда минимальное возможное A = B * C будет 40 * 40 = 1600.
• Но по условию A ≤ 500. Противоречие.

Вывод: При 440 ≤ A ≤ 500 равенство A = B * C невозможно.

Выводы

1. Системный подход: Сложные задачи №19 часто решаются через введение переменных для сумм цифр и составление систем уравнений.
2. Оценка и перебор: Ключевой приём — поиск минимальных/максимальных значений через анализ ограничений (цифры от 1 до 9).
3. Важность примера: Даже если найдено значение, часто требуется построить конкретный числовой пример для полного решения.
4. Логика "от противного": В пунктах на "может/не может" часто используется поиск противоречия через оценку граничных значений.