Постоянные величины (константы)
Константы делятся на два типа: мировые константы, связанные с выбранной системой отсчёта или единиц измерения, и константы конкретной задачи, которые остаются неизменными только в её рамках (например, коэффициенты в уравнении).
Понятие функции
Функция — это правило (закон), которое каждому числу из области определения ставит в соответствие единственное число из области существования функции.
Пример: Для функции y = sqrt((x-1)/(x+1)) область определения находится из условия (x-1)/(x+1) >= 0. Решая методом интервалов, получаем: x ∈ (-∞, -1) ∪ [1, +∞).
Свойства функций
Ограниченность
Функция f(x) называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для всех x из области определения выполняется |f(x)| ≤ M.
- Если выполняется только
f(x) ≤ M— функция ограничена сверху. - Если выполняется только
f(x) ≥ m— функция ограничена снизу.
Чётность и нечётность
- Функция называется нечётной, если
f(-x) = -f(x)(например,y = x - x³). - Функция называется чётной, если
f(-x) = f(x)(например,y = 1 + x²).
Периодичность
Число T называется периодом функции, если для всех x выполняется f(x + T) = f(x). Если T — период, то nT (где n — целое) тоже является периодом. Обычно ищут наименьший положительный период.
Пример: Для функции y = sin(ωx) период T находится из условия sin(ω(x+T)) = sin(ωx). Наименьший положительный период равен T = 2π/ω. Величина ω = 2π/T называется частотой.
Способы задания функции
- Аналитический — явная формула
y = f(x). - Неявный — уравнение, связывающее
xиy(например,xy = 5). - Параметрический — с помощью вспомогательного параметра
t:x = x(t),y = y(t)(например, уравнение окружности:x = R cos t,y = R sin t).
Многозначность и ветви функций
Некоторые уравнения задают не одну, а несколько функций (ветвей). Например, уравнение окружности x² + y² = R² определяет две ветви:
y = +√(R² - x²)(верхняя полуокружность)y = -√(R² - x²)(нижняя полуокружность)