Конспект

YouTube📊 Проценты и прогрессии: основы и формулы

Проценты

Процент — это одна сотая часть некоторой величины. Например, 100% от величины a — это сама величина a, а 25% от a — это 0.25a.

Основные подходы к решению задач на проценты:

  • Нахождение нового значения после изменения: Увеличение на p% означает умножение исходной величины на коэффициент (1 + p/100). Уменьшение на p% — умножение на коэффициент (1 - p/100).
  • Пример (увеличение): Товар стоимостью 1000 рублей подорожал на 15%. Новая цена: 1000 * (1 + 15/100) = 1000 * 1.15 = 1150 рублей.
  • Пример (уменьшение): Товар стоимостью 1000 рублей подешевел на 10%. Новая цена: 1000 * (1 - 10/100) = 1000 * 0.9 = 900 рублей.

Раз увеличилась на 15 процентов, то есть единицы у нас стало 1 и 15 сотых от исходной величины.

Сложные проценты

Сложные проценты начисляются на сумму с учётом ранее начисленных процентов. Это соответствует возведению коэффициента роста в степень, равную количеству периодов.

Пример: 10 000 рублей положены в банк под 10% годовых.

  • Через 1 год: 10000 * 1.1 = 11000.
  • Через 2 года: 10000 * 1.1² = 12100.
  • Через n лет сумма рассчитывается по формуле: S = S₀ * (1 + p/100)ⁿ, где S₀ — начальная сумма, p — процентная ставка.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разность прогрессии). Общий вид: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, ..., a₁ + (n-1)d.

Ключевые свойства и формулы:

  • n-й член: aₙ = a₁ + (n-1)d.
  • Свойство среднего арифметического: Каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних членов: a₂ = (a₁ + a₃)/2.
  • Сумма n первых членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 * n или Sₙ = (2a₁ + (n-1)d)/2 * n.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q (знаменатель прогрессии). Общий вид: b₁, b₁q, b₁q², ..., b₁qⁿ⁻¹.

Ключевые свойства и формулы:

  • n-й член: bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹.
  • Свойство среднего геометрического: Для положительных членов каждый член, начиная со второго, является средним геометрическим соседних членов: b₂ = √(b₁ * b₃).
  • Сумма n первых членов: Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q), где q ≠ 1.
  • Сумма бесконечно убывающей прогрессии: Если |q| < 1, то при n → ∞ величина qⁿ → 0. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле: S = b₁ / (1 - q).