Ваш конспект

Разбор сложного параметра с досрочного ЕГЭ по математике

Ключевые тезисы:

• Задача на параметр из досрочного ЕГЭ оказалась одной из самых сложных
• Ключевая идея: если система симметрична относительно замены x на -x, то решения идут парами
• Условие «одно решение» возможно только если x = 0
• Найденные значения параметра a = -7 и a = -17 требуют обязательной проверки на отсутствие других решений
• Правильный ответ — только a = -7

Ключевая идея: симметрия и единственное решение

Система уравнений симметрична относительно замены x на -x, так как содержит выражения x² и |x|. Это означает:

• Если (x₀; y₀) — решение, то (-x₀; y₀) — тоже решение.
• Решения существуют парами.

Вывод: Условие «система имеет одно решение» возможно только в случае, когда x₀ = 0 (иначе решение автоматически дублируется).

Первый этап: поиск кандидатов на параметр a

Подставляем x = 0 в систему:

1. Первое уравнение: 5 * 2⁰ + 6*0 + 7 = 5y - a → 12 = 5y - a
2. Второе уравнение: 0² + y² = 1 → y = 1 или y = -1

Рассматриваем случаи:

• При y = 1: 12 = 5 - a → a = -7
• При y = -1: 12 = -5 - a → a = -17

Важно: На этом этапе мы лишь нашли значения a, при которых существует решение с x=0. Необходимо проверить, что других решений нет.

Распространённые ошибки при разборе

4-е место: Алина (Инспирия)

• Ошибка: Предположила, что найденные значения a = -7 и a = -17 являются окончательным ответом.
• Проблема: Не была проведена проверка на наличие других решений системы помимо (0; ±1).

3-е место: Антон (Онлайн-школа ЕГЭлекс)

• Правильный шаг: Понимание необходимости проверки.
• Способ: Попытка использовать оценки, основанные на ограничениях x² + y² = 1 (окружность радиуса 1).
• Недостаток: Рассуждения о невозможности равенства 5A = 6B были не до конца ясны и строги.

Альтернативное строгое решение (оценки):

1. Из второго уравнения: y ∈ [-1; 1], x ∈ [-1; 1].
2. Преобразуем первое уравнение при a = -7 к виду: 5(y - 2^|x|) = 6(|x| - x²).
3. Можно доказать, что:
   • Левая часть ≤ 0 (так как y ≤ 1, а 2^|x| ≥ 1).
   • Правая часть ≥ 0 (график |x| - x² неотрицателен на отрезке [-1; 1]).
4. Равенство возможно только когда обе части равны нулю: y = 1 и |x| - x² = 0 → x = 0. Это доказывает единственность решения для a = -7.

2-е место: Илья

• Подход: Выразил y из первого уравнения как функцию от x: y = 2^|x| + (6/5)|x| - (6/5)x².
• Для a = -7: Успешно доказал, что эта функция возрастает на каждой ветви (при x ≥ 0 и x ≤ 0), начиная с точки (0; 1). Это означает, что график функции пересекает окружность x² + y² = 1 только в одной точке (0; 1).
• Для a = -17: Ошибка. Утверждал, что функция также возрастает, а значит, будут другие пересечения. Однако возрастающая функция может целиком лежать внутри окружности и не пересекать её снова. Доказательство для этого случая неверно.

1-е место: Маша (ЕГЭленд)

Верная стратегия для случая a = -17:

1. Преобразуем уравнение к виду: y = 2^|x| + (6/5)|x| - (6/5)x² - 2.
2. Метод «зоркого глаза»: Достаточно найти несколько конкретных решений, чтобы опровергнуть единственность.
   • При x = 0 получаем y = 1 - 2 = -1 → точка (0; -1).
   • При x = 1 (или x = -1) получаем y = 2 + 6/5 - 6/5 - 2 = 0 → точки (1; 0) и (-1; 0).
3. Вывод: Для a = -17 система имеет как минимум три решения: (0; -1), (1; 0), (-1; 0). Условие «одно решение» не выполняется.

Итоговый вывод и полезные приёмы

1. Проверка обязательна: Нахождение кандидатов в параметры через необходимое условие (x=0) — только первый шаг.
2. Графическая интерпретация: Уравнение x² + y² = 1 задаёт окружность. Задача сводится к исследованию пересечений графика некоторой функции с этой окружностью.
3. Методы проверки:
   • Строгие оценки (как для a = -7).
   • Поиск конкретных точек (как для a = -17). Если нашлось больше одной точки пересечения — случай не подходит.
   • Принцип непрерывности: Если можно показать, что график функции имеет точки как внутри, так и снаружи окружности, то пересечений будет минимум два.

Окончательный ответ: a = -7.