Конспект

Правило треугольников для определителя 3-го порядка

Метод позволяет вычислить определитель квадратной матрицы 3×3, формируя шесть слагаемых, каждое из которых является произведением трёх элементов. Ключевое правило: в каждом произведении элементы берутся из разных строк и разных столбцов.

Формирование слагаемых

Слагаемые делятся на две группы: три со знаком «плюс» и три со знаком «минус».

Слагаемые со знаком «+»:

1. Элементы главной диагонали: a₁₁, a₂₂, a₃₃.
2. Элементы, образующие треугольник, параллельный главной диагонали: a₁₂, a₂₃, a₃₁.
3. Элементы, образующие зеркальный треугольник относительно главной диагонали: a₂₁, a₃₂, a₁₃.

Слагаемые со знаком «–» (берутся в скобках с минусом перед ними):

1. Элементы побочной диагонали: a₁₃, a₂₂, a₃₁.
2. Элементы, образующие треугольник, параллельный побочной диагонали (зелёный): a₁₂, a₂₁, a₃₃.
3. Элементы другого треугольника, параллельного побочной диагонали (жёлтый): a₂₃, a₃₂, a₁₁.

Определитель равен сумме трёх слагаемых со знаком «плюс» минус сумма трёх слагаемых, взятых в скобках.

Пример вычисления

Дана матрица:

2   1  -2
-1  4   5
3   1   1

Вычисление:

1. Слагаемые со знаком «+»:

   • Главная диагональ: 2 * 4 * 1 = 8
   • Параллельный главной треугольник: 1 * 5 * 3 = 15
   • Зеркальный треугольник: (-1) * 1 * (-2) = 2
   • Сумма: 8 + 15 + 2 = 25

2. Слагаемые со знаком «–» (в скобках):

   • Побочная диагональ: (-2) * 4 * 3 = -24
   • Зелёный треугольник: 1 * (-1) * 1 = -1
   • Жёлтый треугольник: 5 * 1 * 2 = 10
   • Сумма в скобках: (-24) + (-1) + 10 = -15

Итоговый результат: 25 – (-15) = 25 + 15 = 40.

Определитель данной матрицы равен 40.