Разбор досрочного ЕГЭ по профильной математике (27.03.2026)

Ключевые тезисы:

• Разбор всех 19 заданий досрочного варианта.
• Акцент на практическом решении, теория напоминается по ходу.
• Подробный разбор типичных ошибок и стратегий решения.
• Обсуждение структуры экзамена и прогнозов.

Общая информация о стриме

• Продолжительность: 2–3 часа.
• Запись: Будет доступна.
• Файлы: Задания и ответы (с исправленной опечаткой) доступны в Telegram-канале.
• Формат: Разбор заданий по порядку, от №1 до №19.

Геометрия (№1-3, №8, №14)

Задача №1 (Планиметрия)

• Условие: В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. ∠C = 30°, ∠BAD = 22°. Найти ∠ADB.
• Решение:
  1. Так как AD — биссектриса, ∠CAD = ∠BAD = 22°.
  2. В треугольнике ADC: ∠ADC = 180° - (22° + 30°) = 128° (по теореме о сумме углов).
  3. Искомый угол ADB смежный с ∠ADC: ∠ADB = 180° - 128° = 52°.
• Лайфхак: Можно было решить в одно действие по теореме о внешнем угле треугольника.

Задача №2 (Векторы)

• Условие: Даны вектора a и b на координатной плоскости. Найти длину вектора a + 2b.
• Решение:
  1. Определяем координаты по клеткам: a(1; -2), b(-3; 1).
  2. Находим координаты вектора c = a + 2b: (1 + 2*(-3); -2 + 2*1) = (-5; 0).
  3. Длина вектора: |c| = √((-5)² + 0²) = 5.

Задача №3 (Стереометрия)

• Условие: Конус вписан в цилиндр. Высоты и радиусы оснований равны. Объём цилиндра 150. Найти объём конуса.
• Решение:
  • Формулы: V_цил = πR²H, V_кон = (1/3)πR²H.
  • Объём конуса в 3 раза меньше: V_кон = 150 / 3 = 50.

Задача №8 (Производная и графики)

• Условие: Дан график производной y = f'(x) на отрезке [-12; 12]. Найти количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 11].
• Решение:
  1. Точка максимума функции — это точка, где производная меняет знак с "+" на "-".
  2. На графике f'(x) ищем точки пересечения с осью OX (где f'(x)=0) с указанной сменой знака в пределах заданного отрезка [-6; 11].
  3. В данном варианте таких точек 5.

Задача №14 (Стереометрия)

• Условие: Дана правильная треугольная призма (куб с ребром 6). Точка K — середина ребра. Доказать, что сечение плоскостью BKD является равнобедренной трапецией.
• Решение:
  1. Построить сечение, соединив точки B, K и D.
  2. Показать, что получившаяся фигура — трапеция (две стороны параллельны).
  3. Доказать, что боковые стороны равны (равнобедренная трапеция).

Теория вероятностей (№4-5)

Задача №4 (Классическая вероятность)

• Условие: Вероятность работы сканера >1 года = 0.94, >2 лет = 0.87. Найти вероятность работы от 1 до 2 лет.
• Решение (визуализация на числовой прямой):
  • Событие A (>1 года) состоит из двух несовместных событий: B (>2 лет) и C (от 1 до 2 лет).
  • P(A) = P(B) + P(C) → P(C) = P(A) - P(B) = 0.94 - 0.87 = 0.07.

Задача №5 (Сложная вероятность)

• Условие: В коробке 8 синих, 6 красных, 11 зелёных фломастеров. Наугад берут 2. Найти вероятность, что они окажутся синий и красный.
• Решение (через "цепочки"):
  • Рассматриваем два несовместных события:
    1. Первый синий, потом красный: (8/25) * (6/24).
    2. Первый красный, потом синий: (6/25) * (8/24).
  • Искомая вероятность: (8/25)*(6/24) + (6/25)*(8/24) = 48/600 = 0.16.

Алгебра (№6, №7, №9, №10, №11, №12)

Задача №6 (Иррациональное уравнение)

• Условие: √(2x + 52) = 8.
• Решение:
  1. Возвести в квадрат: 2x + 52 = 64.
  2. Решить: 2x = 12 → x = 6.
• Важно: Сделать устную проверку подстановкой, чтобы избежать ошибок.

Задача №7 (Преобразование выражений)

• Условие: (6√7)² / 9.
• Решение: (36 * 7) / 9 = 252 / 9 = 28.

Задача №9 (Степенное уравнение из физики)

• Условие: Дана формула P = σ * S * T⁴. Известны P, σ, S. Найти T.
• Решение:
  1. Подставить числа, аккуратно работая со степенями десятки.
  2. Постепенно упрощать, выражая T⁴, а затем T.
  3. Учитывать, что температура T > 0, поэтому берём только положительный корень.
  4. Ответ: T = 4000.

Задача №10 (Задачи на смеси и сплавы)

• Условие: Есть два сплава: 15% и 35% никеля. Из них получили третий сплав массой 140 кг с 30% никеля. Найти разность масс исходных сплавов.
• Решение (табличный метод):
  1. Ввести переменные: x — масса первого сплава, y — второго.
  2. Составить систему на основе баланса массы и вещества:
     • x + y = 140 (масса).
     • 0.15x + 0.35y = 0.30 * 140 (масса никеля).
  3. Решить систему. Ответ: y - x = 70 кг.

Задача №11 (Квадратичная функция)

• Условие: Дан график параболы f(x) = ax² + bx + c и три точки на нём. Найти значение функции в заданной точке.
• Решение (система уравнений):
  1. Подставить координаты трёх известных точек в уравнение параболы.
  2. Решить систему относительно a, b, c.
  3. Записать конкретный вид функции и вычислить искомое значение.
  • В данном варианте: f(x) = x² - 3x + 2, f(-3) = 20.

Задача №12 (Производная и точки экстремума)

• Условие: Найти точку максимума функции y = log₂(2 + 2x - x²) - 2.
• Решение (через свойства функций):
  1. Логарифмическая функция с основанием >1 монотонно возрастает. Точки экстремума y совпадают с точками экстремума подлогарифмического выражения g(x) = -x² + 2x + 2.
  2. g(x) — квадратичная парабола, ветви вниз. Абсцисса вершины (точка максимума): x₀ = -b/(2a) = -2/(2*(-1)) = 1.
• Альтернатива: Можно найти производную сложной функции и приравнять к нулю.

Вторая часть (№13, №15-19)

Задача №13 (Тригонометрическое уравнение)

• Условие: Решить уравнение и отобрать корни на отрезке.
  • А) cos²(x + π/4) = sin²x + 0.5
  • Б) Указать корни на отрезке [13π/2; 15π/2].
• Решение (А):
  1. Применить формулу косинуса суммы: cos(x+π/4) = cos x * cos(π/4) - sin x * sin(π/4) = (√2/2)(cos x - sin x).
  2. Подставить в уравнение, возвести в квадрат, упростить с использованием основного тригонометрического тождества (sin²x + cos²x = 1).
  3. Привести к виду: sin x (sin x - cos x) = 0.
  4. Рассмотреть два случая:
     • sin x = 0 → x = πk, k ∈ Z.
     • sin x - cos x = 0 → tg x = 1 → x = π/4 + πn, n ∈ Z.

Стереометрия: Построение сечения и нахождение расстояния (Задача 14, продолжение)

Ключевые тезисы

• Построение сечения в кубе через заданные точки.
• Доказательство, что сечение — равнобедренная трапеция.
• Нахождение расстояния от точки до плоскости координатным методом.
• Важность выбора рационального метода решения (геометрический vs. координатный).

Построение сечения

• Дано: Куб с ребром 6. Точка K — середина ребра B₁C₁. Плоскость сечения проходит через точки B, K, D.
• Шаги построения:
  1. Соединяем точки B и D (лежат в одной плоскости нижнего основания).
  2. Соединяем точки B и K (лежат в одной плоскости правой боковой грани).
  3. Точки K и D лежат в разных плоскостях, поэтому соединять их напрямую нельзя.
  4. Ключевая идея: Верхнее и нижнее основания куба параллельны. Секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым.
  5. В плоскости верхнего основания через точку K проводим прямую, параллельную B₁D₁ (которая параллельна BD). Эта прямая пересекает ребро D₁C₁ в точке L.
  6. Точка L — середина D₁C₁ (так как KL — средняя линия в ΔB₁D₁C₁).
  7. Соединяем точки L и D (лежат в одной плоскости задней грани).
• Итог: Сечение — четырёхугольник BKLD.

Доказательство (равнобедренная трапеция)

• Трапеция: BD || KL по построению (п. 4 выше). Следовательно, BKLD — трапеция.
• Равнобедренность: Нужно доказать, что боковые стороны BK и DL равны.
  • Рассмотрим прямоугольные треугольники BB₁K и DD₁L.
  • Они равны по двум катетам: BB₁ = DD₁ (рёбра куба), B₁K = D₁L (так как K и L — середины равных рёбер).
  • Следовательно, их гипотенузы BK и DL равны.
• Вывод: Сечение BKLD — равнобедренная трапеция.

Нахождение расстояния от точки C до плоскости (BKD)

Выбран координатный метод как наиболее алгоритмичный.

• Шаг 1: Ввод системы координат

  • Начало: точка A.
  • Ось X: вдоль AB.
  • Ось Y: вдоль AD.
  • Ось Z: вдоль AA₁.

• Шаг 2: Координаты точек

  • A(0; 0; 0)
  • B(6; 0; 0)
  • D(0; 6; 0)
  • K(6; 3; 6) (середина B₁C₁)
  • C(6; 6; 0) (точка, расстояние от которой ищем)

• Шаг 3: Уравнение плоскости (BKD)

  • Общий вид: Ax + By + Cz + D = 0 (где D ≠ 0, т.к. плоскость не проходит через A).
  • Подставляем координаты точек B, D, K в уравнение и решаем систему.
  • Итоговое уравнение: 2x + 2y - z - 12 = 0.

• Шаг 4: Формула расстояния

  • Расстояние от точки C(x₀; y₀; z₀) до плоскости: ρ = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
  • Подставляем: ρ = |2*6 + 2*6 - 0 - 12| / √(4 + 4 + 1) = |12| / 3 = 4.

Ответ в пункте Б: 4.

Задача 16: Кредит

Ключевая идея

Задачи на кредиты решаются по базовой формуле, отражающей изменение долга за период:
Долг_конец = Долг_начало + Начисленные_проценты - Платёж.

Решение (метод таблицы)

• Дано: Сумма кредита S = 250 000 руб.. Срок — 2 года. Платежи: 150 000 руб. и 180 000 руб.. Процентная ставка r%.
• Составляем таблицу:

• Уравнение: Через 2 года долг погашен, т.е. долг на конец 2-го года равен 0.
  • -80 000 + 3500r + 25r² = 0
  • Сокращаем на 25: r² + 140r - 3200 = 0
• Находим r: D = 32400 = 180². Корни: r₁ = 20, r₂ = -160.
• Выбираем корень: По смыслу задачи процентная ставка положительна.
• Ответ: r = 20. (