Конспект

YouTubeПриведение уравнения кривой к каноническому виду

Постановка задачи преобразования уравнения кривой

Дано общее уравнение второй степени, описывающее кривую второго порядка. Наличие слагаемого с произведением координат (xy) указывает на поворот кривой относительно осей, а слагаемые с переменными в первой степени — на параллельный перенос. Цель — поэтапными преобразованиями избавиться от этих слагаемых, получить каноническое уравнение, определить тип кривой и построить её.

Пример и первый этап: поворот осей

Работа ведётся на примере уравнения: 17x² + 12xy + 8y² - 22x + 4y - 7 = 0.

Первый этап — поворот осей на угол α для устранения слагаемого с произведением координат. Используются формулы преобразования координат. После подстановки и раскрытия скобок коэффициент при произведении x'y' приравнивается к нулю.

Цель первого этапа — избавиться от слагаемого, содержащего произведения x' на y'.

В результате получается тригонометрическое уравнение. Выбирается решение, соответствующее повороту на острый угол (положительные синус и косинус):

  • sin α = 1/√5, cos α = 2/√5
  • Угол α ≈ 27°

После подстановки этих значений уравнение в повёрнутой системе x'O'y' принимает вид: 20x'² + 5y'² - 8√5 x' + 12√5 y' - 7 = 0.

Второй этап: параллельный перенос начала координат

На этом этапе выполняется перенос начала координат повёрнутой системы с сохранением направления осей.

  • Слагаемые группируются, и выражения дополняются до полных квадратов.
  • После свёртывания по формулам квадрата суммы/разности уравнение преобразуется.

Структура полученного уравнения показывает, что начало координат нужно сместить:

  • Вдоль оси x' вправо на величину 1/√5.
  • Вдоль оси y' вниз на величину 3/√5.

Вводятся новые переменные по формулам переноса. После деления обеих частей на 4 получается каноническое уравнение:
X''² / 1 + Y''² / 4 = 1.

Итог и построение кривой

Полученное каноническое уравнение описывает эллипс в системе координат X''O''Y'' с центром в точке O'' (1/√5, -3/√5) относительно повёрнутой системы.

Параметры эллипса:

  • Большая полуось b = 2 (расположена на оси Y'')
  • Малая полуось a = 1 (расположена на оси X'')
  • Фокусы эллипса находятся на оси Y''.

Последовательность построения:

  1. Повернуть исходную систему координат на угол ≈ 27°.
  2. В повёрнутой системе x'O'y' отметить центр O'' с вычисленными координатами.
  3. Перенести начало координат в точку O'', сохраняя направление осей, чтобы получить систему X''O''Y''.
  4. В этой системе отложить от центра полуоси и через полученные вершины провести эллипс.