Конспект

Необходимые условия экстремума

Для функции многих переменных, имеющей непрерывные частные производные, необходимое условие локального экстремума — равенство нулю всех её частных производных первого порядка. Это означает, что в точке экстремума градиент функции должен быть нулевым вектором.

Квадратичная форма и второй дифференциал

Для анализа характера стационарной точки используется второй дифференциал функции, который представляет собой квадратичную форму относительно приращений переменных. В точке, где первые производные равны нулю, поведение функции определяется знаком этой квадратичной формы.

Квадратичная форма — это выражение вида, коэффициентами которого являются вторые частные производные функции.

Достаточные условия экстремума

Характер стационарной точки определяется свойствами матрицы вторых производных (гессиана).

• Если квадратичная форма положительно определена (все собственные значения матрицы положительны), то в точке — строгий локальный минимум.
• Если квадратичная форма отрицательно определена (все собственные значения отрицательны), то в точке — строгий локальный максимум.
• Если квадратичная форма принимает значения разных знаков (матрица неопределённа), то точка является седловой (экстремума нет).
• Если квадратичная форма полуопределена (есть нулевые собственные значения), то теорема не даёт ответа, и требуется дополнительное исследование.

Алгоритм поиска локальных экстремумов

1. Найти стационарные точки: Решить систему уравнений, приравняв все частные производные первого порядка к нулю.
2. Вычислить матрицу вторых производных (гессиан) в каждой найденной стационарной точке.
3. Проанализировать квадратичную форму:
   • Если матрица положительно/отрицательно определена — есть локальный минимум/максимум.
   • Если матрица неопределённа — точка седловая.
   • Если матрица полуопределена — необходим дополнительный анализ (например, исследование функции в окрестности точки).

Примеры анализа

• Функция f(x₁, x₂) = x₁² + x₂²: Стационарная точка (0,0). Матрица вторых производных положительно определена → в точке строгий локальный минимум.
• Функция f(x₁, x₂) = -x₁² - x₂²: Аналогично, но матрица отрицательно определена → в точке (0,0) строгий локальный максимум.
• Функция f(x₁, x₂) = x₁² - x₂²: Точка (0,0) — седловая, так как квадратичная форма неопределённа (принимает значения разных знаков).
• Функция f(x₁, x₂) = (x₁ - x₂)²: Здесь множество стационарных точек образует прямую x₁ = x₂. Матрица вторых производных полуопределена (положительна, но вырождена). Во всех точках этой прямой функция принимает минимальное значение 0, но минимум нестрогий, так как в любой окрестности есть точки, где функция также равна нулю.