Конспект

YouTubeКанонические уравнения прямой в пространстве

Канонические уравнения прямой в пространстве

Для задания прямой в трёхмерном пространстве необходимы точка, через которую она проходит, и направляющий вектор, задающий её направление. Канонические уравнения — это один из способов аналитического описания такой прямой.

  • Направляющий вектор (a): вектор, параллельный прямой. Его координаты обозначаются как (l, m, n).
  • Точка на прямой (M₀): известная точка с координатами (x₀, y₀, z₀).
  • Текущая точка (M): произвольная точка на прямой с переменными координатами (x, y, z).

Вывод канонических уравнений

Если взять вектор M₀M, соединяющий заданную и текущую точки, то он будет лежать на прямой. Следовательно, векторы M₀M и направляющий вектор a коллинеарны.

Коллинеарность векторов означает пропорциональность их соответствующих координат, что приводит к системе:

(x - x₀) / l = (y - y₀) / m = (z - z₀) / n

Это соотношение и называется каноническими уравнениями прямой.

Свойства канонических уравнений

  • Система содержит три уравнения, но только два из них являются независимыми. Третье является их следствием.
  • Каждое из уравнений в отдельности представляет собой уравнение плоскости, содержащей исходную прямую. Например, первое уравнение задаёт плоскость, перпендикулярную координатной плоскости XY.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Поскольку две точки однозначно определяют прямую, канонические уравнения можно записать, используя их координаты.

Алгоритм составления:

  1. Выбрать одну из заданных точек в качестве точки M₀ (например, M₁(x₁, y₁, z₁)).
  2. В качестве направляющего вектора взять вектор M₁M₂, соединяющий обе точки. Его координаты находятся как разность координат точек: (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
  3. Подставить найденные данные в общую формулу канонических уравнений.

В результате получается запись, известная как канонические уравнения прямой, проходящей через две точки.

Особый случай и геометрическая интерпретация

Если одна из координат направляющего вектора равна нулю, это меняет геометрический смысл уравнений.

Пример: Если в уравнении (y - y₀) / m = 0 (так как m = 0), это условная запись, которая означает, что числитель (y - y₀) также должен быть равен нулю.

  • Такая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей:
    1. Плоскости, задаваемой уравнением y = y₀ (параллельна плоскости XZ).
    2. Плоскости, задаваемой соотношением (x - x₀)/l = (z - z₀)/n (перпендикулярна плоскости XZ).

В этом случае прямая будет перпендикулярна оси OY, так как её направляющий вектор имеет нулевую проекцию на эту ось.