Конспект

Решение сложного логарифмического неравенства из ЕГЭ

Ключевые тезисы:

• Основная ошибка большинства школьников связана с неправильным применением свойства логарифма при вынесении чётной степени из аргумента.
• Ключевой момент: при вынесении чётной степени перед логарифмом необходимо ставить аргумент в модуль.
• Решение требует последовательного применения: ограничения, преобразования выражения, метода рационализации и учёта области допустимых значений (ОДЗ) при построении интервалов.

Начало решения: ограничения (ОДЗ)

Область допустимых значений (ОДЗ) — это условия, при которых выражение имеет смысл. Для логарифмического неравенства необходимо, чтобы аргументы всех логарифмов были больше нуля.

Для данного неравенства:

1. 4 - x > 0 → x < 4
2. x² - 8x + 16 > 0 → Это выражение можно представить как (x - 4)². Квадрат любого числа всегда больше нуля, кроме случая, когда само число равно нулю. Поэтому условие: x ≠ 4.

Итоговое ограничение: x < 4 (так как x < 4 и x ≠ 4).

Преобразование неравенства

1. Распознаём полный квадрат: x² - 8x + 16 = (x - 4)².
2. Преобразуем число: 243 = 3⁵.
3. Приводим к одному основанию: Используем свойство логарифма logₐ(bⁿ) = n * logₐ(b) для вынесения степени 5 из аргумента 243. Получаем: 5 * log₃(4 - x).
4. Ключевой момент с вынесением степени: Из выражения log₃((x - 4)²) нужно вынести степень 2. При вынесении чётной степени из аргумента логарифма, сам аргумент необходимо взять в модуль: 2 * log₃(|x - 4|).

Почему нужен модуль? Без него нарушается базовое условие ОДЗ (аргумент > 0). Пример: log₂((-2)²) = log₂(4) существует, но 2 * log₂(-2) — не существует, так как -2 < 0. Модуль "убирает" минус.

Раскрытие модуля с учётом ОДЗ

После преобразования в неравенстве появляется выражение log₃(|x - 4|).

• Обычно модуль раскрывается двумя способами: |A| = A если A ≥ 0, и |A| = -A если A < 0.
• Однако, учитывая уже найденное ограничение x < 4, подмодульное выражение x - 4 на всей нашей области всегда отрицательно.
• Поэтому модуль раскрывается однозначно: |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x.

Результат: После раскрытия модуля в неравенстве получаются два одинаковых выражения log₃(4 - x), что позволяет вынести этот логарифм за скобку.

Метод рационализации и решение

После вынесения общего множителя получается неравенство вида: log₃(4 - x) * (x²/5 - 2) ≤ 0.

• Первая часть (log₃(4 - x)) — нерациональная функция (содержит логарифм).
• Для применения метода интервалов необходимо превратить её в рациональную функцию.

Формула рационализации (применима на ЕГЭ):
logₐ(f(x)) можно заменить на (a - 1) * (f(x) - 1) без изменения знака неравенства.

Применяем: log₃(4 - x) → (3 - 1) * ((4 - x) - 1) = 2 * (3 - x).

Теперь неравенство полностью рациональное: 2 * (3 - x) * (x²/5 - 2) ≤ 0.

Метод интервалов с учётом ОДЗ

1. Находим корни каждого множителя:

   • 2 — константа, корней нет.
   • 3 - x = 0 → x = 3.
   • x²/5 - 2 = 0 → x² = 10 → x = ±√10.

2. Отмечаем корни на числовой оси: -√10, √10, 3. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое (≤).

3. Определяем знаки на интервалах: Подставляем пробные точки (например, миллиард) и учитываем чередование знаков.

4. Важный финальный шаг: Выбираем интервалы с знаком "минус" (так как неравенство ≤ 0), но строго учитываем первоначальное ограничение x < 4. Нельзя рассматривать точки и интервалы правее x = 4.

Финальный ответ: x ∈ [-√10, 3] ∪ [√10, 4).

Выводы

• Главная ошибка — игнорирование модуля при вынесении чётной степени из аргумента логарифма.
• Решение строится на чёткой последовательности: ОДЗ → преобразования → рационализации → метод интервалов с учётом ОДЗ.
• При раскрытии модуля в логарифме всегда нужно анализировать его с учётом уже найденных ограничений, чтобы избежать рассмотрения лишних случаев.
• При построении интервалов окончательное решение должно быть пересечением найденных интервалов и первоначальной ОДЗ.