Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса — универсальный алгоритм решения систем линейных уравнений, основанный на последовательном исключении неизвестных. Рассматривается случай совместной и определённой системы (имеющей единственное решение) из m уравнений с n неизвестными.
Основные принципы метода
Метод работает с расширенной матрицей системы, которая включает в себя столбец свободных членов. Цель метода — с помощью элементарных преобразований строк привести эту матрицу к треугольному (или трапециевидному) виду, где ниже главной диагонали расположены только нули.
Допустимые элементарные преобразования строк:
- Перестановка двух строк местами.
- Умножение или деление строки на число (кроме нуля).
- Прибавление (или вычитание) к одной строке другой строки, умноженной на число.
После приведения матрицы к треугольному виду выполняется обратный ход: выписывается соответствующая система уравнений и неизвестные последовательно находятся, начиная с последнего уравнения.
Пример решения системы из трёх уравнений
Дана система:
- x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 3
- 3x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 7
- 2x₁ + 5x₂ + 5x₃ = 8
Прямой ход (приведение матрицы)
- Составляем расширенную матрицу системы.
- Цель 1: Получить нули в первом столбце ниже первой строки.
- Рабочий элемент первой строки — 1 (желательно, чтобы он был равен 1).
- Чтобы получить ноль во второй строке: умножаем первую строку на 3 и вычитаем из второй.
- Чтобы получить ноль в третьей строке: умножаем первую строку на 2 и вычитаем из третьей.
- Цель 2: Получить ноль во втором столбце ниже второй строки.
- Для удобства можно умножить строки на (-1) для избавления от отрицательных чисел и/или переставить строки местами, чтобы на главной диагонали второй строки оказалась 1.
- После подготовки умножаем новую вторую строку на 10 и вычитаем из третьей строки.
- При необходимости упрощаем матрицу, разделив последнюю строку на общий множитель (например, на -9).
В результате получаем матрицу треугольного вида.
Обратный ход (нахождение решений)
- Выписываем систему уравнений, соответствующую итоговой матрице. Она будет иметь треугольный вид.
- Из последнего уравнения сразу находим значение x₃ = 3.
- Подставляем найденное x₃ во второе уравнение и находим x₂ = -2.
- Подставляем x₂ и x₃ в первое уравнение и находим x₁ = -4.
Для проверки найденные значения подставляются в исходные уравнения, что подтверждает верность решения. Окончательный ответ: x₁ = -4, x₂ = -2, x₃ = 3.