Конспект

YouTubeЗадачи на движение: эскалатор и лодка

Задача про эскалатор

Рассматривается задача о движении рабочего по эскалатору. Известны три времени: по неподвижному эскалатору, по движущемуся без ходьбы и искомое время при движении по движущемуся эскалатору пешком.

  • Дано: Рабочий поднимается по стоящему эскалатору за t₁ = 12 минут. По движущемуся эскалатору (стоя) он поднимается за t₂ = 4 минуты.
  • Найти: Время t, за которое рабочий поднимется, идя по движущемуся эскалатору.
  • Решение: Принимаем путь S за константу. Скорость рабочего относительно эскалатора — v₁, скорость эскалатора — v₂. Составляются уравнения пути:
    • S = v₁ * t₁
    • S = v₂ * t₂
    • S = (v₁ + v₂) * t
  • Из соотношения скоростей находится, что v₁ = v₂ * (t₂ / t₁). Подстановка в общую формулу приводит к итоговой формуле для времени: t = (t₁ * t₂) / (t₁ + t₂).

Время в пути по движущемуся эскалатору при ходьбе вычисляется по формуле t = (t₁ * t₂) / (t₁ + t₂).

Подставив значения, получаем: t = (12 * 4) / (12 + 4) = 48 / 16 = 3. Рабочий поднимется за 3 минуты.

Задача про лодку и течение

Задача о движении моторной лодки по реке с остановкой для ремонта. Необходимо найти общее время опоздания из-за поломки.

  • Условие: Лодка движется из пункта A в пункт B. В пути мотор ломается в точке C, и на ремонт уходит 20 минут. За это время течение сносит лодку в точку D. Известно, что отношение времени пути из A в B к времени обратного пути (B в A) равно 2 (t_AB / t_BA = 2).
  • Обозначения:
    • v_л — скорость лодки в стоячей воде.
    • v_р — скорость течения реки.
    • S — расстояние между A и B.
  • Составляются уравнения:
    • Время из A в B (против течения): t_AB = S / (v_л - v_р)
    • Время из B в A (по течению): t_BA = S / (v_л + v_р)
    • Из отношения времен (t_AB / t_BA = 2) выводится, что v_л = 3 * v_р.
  • Расчёт задержки: За 20 минут ремонта лодку сносит на расстояние CD = v_р * 20. Это же расстояние после починки лодка проходит против течения за время Δt: CD = (v_л - v_р) * Δt.

Подставляя v_л = 3v_р в уравнение для расстояния CD, получаем: v_р * 20 = (3v_р - v_р) * Δt → 20 = 2Δt → Δt = 10 минут.

Общее опоздание складывается из времени ремонта и дополнительного времени в пути: 20 мин + 10 мин = 30 минут.

Общее опоздание лодки составляет 30 минут.