Ваш конспект

Многочлены от одной переменной

Ключевые тезисы:

• Многочлен — это выражение стандартного вида.
• Многочлены можно сравнивать, делить и раскладывать на множители.
• Теорема Безу связывает деление многочлена на двучлен и его значение в точке.
• Схема Горнера — эффективный инструмент для деления многочлена на двучлен и поиска корней.

Стандартный вид и термины

Многочленом степени n называется выражение вида:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, где aₙ ≠ 0.

• aₙ — старший коэффициент.
• a₀ — свободный член.
• n — степень многочлена.
• Если aₙ = 1, многочлен называется приведённым, иначе — неприведённым.

Равенство и деление многочленов

Тождественное равенство: Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их степени и все соответствующие коэффициенты.

Деление с остатком: Любой многочлен P(x) можно разделить на многочлен S(x):
P(x) = S(x) * Q(x) + R(x), где Q(x) — частное, R(x) — остаток.

• Если R(x) = 0, то P(x) делится на S(x) нацело.

Способы деления многочлена на двучлен (x - a)

Пример: Разделить P(x) = x² - 2x + 4 на (x - 1).

1. Метод группировки

Преобразуем выражение:
x² - 2x + 4 = (x² - x) + (-x + 1) + 3 = x(x - 1) - 1(x - 1) + 3 = (x - 1)(x - 1) + 3
Частное: (x - 1), остаток: 3.

2. Деление "столбиком"

          (x - 1)
x - 1 | x² - 2x + 4
        -(x² -  x)
        ----------
             -x + 4
           -(-x + 1)
           ----------
                 3

Остаток: 3.

3. Схема Горнера

Делим на (x - 1) → a = 1.
Выписываем коэффициенты P(x): 1, -2, 4.

Последнее число (3) — это остаток. Предыдущие числа (1, -1) — коэффициенты частного: Q(x) = 1x - 1.

4. Подстановка (следствие теоремы Безу)

Остаток от деления на (x - a) равен значению многочлена в точке x = a.
Для нашего примера (a = 1): P(1) = 1² - 2*1 + 4 = 3.
Остаток: 3.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x - a) равен значению P(a).

Следствие: Если P(a) = 0, то многочлен делится на (x - a) без остатка, и число a является корнем многочлена.

Разложение многочлена на множители (поиск корней)

Пример: Разложить на множители P(x) = x³ - 3x² - 10x + 24.

1. Ищем целочисленные корни среди делителей свободного члена (24): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.
2. Применяем схему Горнера, подставляя возможные корни.

Проверяем a = 2:
Коэффициенты: 1, -3, -10, 24.

Остаток 0 → x = 2 — корень.
Коэффициенты частного: 1, -1, -12 → Q₁(x) = x² - x - 12.
Промежуточный результат: P(x) = (x - 2)(x² - x - 12).

3. Продолжаем раскладывать квадратный трёхчлен (x² - x - 12) по схеме Горнера.
   Проверяем a = -3 для коэффициентов 1, -1, -12:

Остаток 0 → x = -3 — корень.
Коэффициенты частного: 1, -4 → Q₂(x) = x - 4.

Итоговое разложение:
P(x) = x³ - 3x² - 10x + 24 = (x - 2)(x + 3)(x - 4).

Выводы

• Стандартный вид — основа для работы с многочленами.
• Теорема Безу — ключевой инструмент для связи деления и значений многочлена.
• Схема Горнера — эффективный практический метод для:
  • Деления многочлена на двучлен.
  • Нахождения остатка.
  • Подбора целочисленных корней.
  • Разложения многочлена на множители.