Уравнение линии
Любое математическое выражение, содержащее переменные x и y (например, y + 2x + x - 2 = 0), называется уравнением. Подставляя в него различные значения x, можно найти соответствующие значения y, получая пары чисел (x, y). Каждая такая пара задаёт точку в системе координат.
- Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, образует на плоскости сплошную линию.
- Разным уравнениям соответствуют разные наборы точек, а значит, и разные линии.
Таким образом, уравнение вида f(x, y) = 0 является правилом, определяющим расположение точек.
Определение уравнения линии
Уравнение f(x, y) = 0 называется уравнением линии L, если:
- Координаты любой точки, лежащей на L, удовлетворяют этому уравнению.
- Координаты всякой точки, не лежащей на L, не удовлетворяют уравнению.
Пример: задача о движении котёнка по лестнице
Лестница длиной L скользит концами по стене и полу. Требуется найти траекторию движения котёнка, сидящего на её середине.
- В произвольный момент движения котёнок находится в точке C с текущими координатами (x, y).
- В прямоугольном треугольнике, образованном лестницей, отрезок от точки C до стены (db) равен x, а до пола (cd) равен y.
- По теореме Пифагора для треугольника cdb, где CB = L/2, получаем уравнение: x² + y² = (L/2)².
Полученному уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, в которой будет находиться котёнок.
Это уравнение является уравнением окружности с центром в точке O (угол между стеной и полом) и радиусом L/2. Следовательно, траектория движения котёнка — часть этой окружности, расположенная в первом квадранте.
Итоги и значение
Установлено взаимно однозначное соответствие не только между точкой и парой чисел, но и между множеством точек линии и уравнением.
- Это позволяет использовать алгебраические методы для решения геометрических задач.
- Например, для нахождения точек пересечения двух линий достаточно решить систему, составленную из их уравнений.