Геометрическое определение параболы
Парабола определяется как множество точек, равноудалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). В построенной системе координат фокус имеет координаты (p/2, 0), а директриса задаётся вертикальной прямой.
- Фокус (F): точка с координатами (p/2, 0).
- Директриса: вертикальная прямая, расстояние от которой до начала координат равно p/2.
- Условие: Для любой точки M на параболе расстояние до фокуса (r₁) равно расстоянию до директрисы (r₂).
Приравнивая эти расстояния и упрощая, получаем каноническое уравнение параболы: y² = 2px. В отличие от привычной формы y = x², эта парабола расположена горизонтально.
Оптическое свойство параболы
Парабола обладает уникальным оптическим свойством, основанным на законе отражения: угол падения луча равен углу отражения относительно нормали к поверхности.
Все лучи света, падающие на параболу параллельно её оси (оси X), после отражения проходят через фокус.
Это свойство имеет два ключевых технических применения:
- Телескопы (приёмник в фокусе): Параболическое зеркало собирает параллельные лучи (например, из космоса) в одной точке (фокусе), где размещается датчик.
- Прожекторы и фары (источник в фокусе): Если поместить источник света в фокус, параболическое зеркало формирует параллельный пучок лучей.
Для доказательства этого свойства используется уравнение касательной к кривой.
Эксцентриситет кривых второго порядка
Эксцентриситет (ε) — это числовая характеристика, описывающая форму конического сечения и определяемая отношением фокусного расстояния (c) к большой полуоси (a).
- Для эллипса: ε = c / a. Поскольку для эллипса c < a, его эксцентриситет меньше 1. Частный случай — окружность, когда фокусы сливаются и ε = 0.
- Для параболы: Эксцентриситет условно принимается равным 1, исходя из её определения (расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы).
- Для гиперболы: ε = c / a. Для гиперболы c > a, следовательно, её эксцентриситет больше 1.
Таким образом, эксцентриситет создаёт алгебраическую и геометрическую связь между тремя типами кривых второго порядка: эллипсом, параболой и гиперболой.