Реальный слив номеров 18: задачи с нестандартным ходом мысли

Ключевые тезисы:

Задачи выглядят страшно, но решаются коротко, если пойти чуть дальше стандартных рассуждений.
Основные сложности: анализ замен, монотонность, оценка, работа с кусочно-заданными функциями.
Цель — не запомнить ходы, а настроить мышление на возможность дополнительных рассуждений.

Задача 1: Функция с модулем и точка максимума

Условие: Найдите все значения параметра a, при которых функция
f(x) = x² - 2|x - a²| - 8x имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение:

Раскрываем модуль, получаем кусочно-заданную функцию:
- При x ≥ a²: f₁(x) = x² - 10x + 2a²
- При x < a²: f₂(x) = x² - 6x - 2a²
Обе части — параболы, стыкующиеся в точке x = a².
Анализ графиков: Точка максимума (бугорок) возможна только в одном случае — когда точка стыка a² лежит строго между вершинами парабол.
Находим вершины:
- Для f₁(x): x₁ = 5
- Для f₂(x): x₂ = 3
Условие для точки максимума: 3 < a² < 5
Решаем неравенство:
- a² > 3 → a ∈ (-∞; -√3) ∪ (√3; +∞)
- a² < 5 → a ∈ (-√5; √5)
Пересечение: a ∈ (-√5; -√3) ∪ (√3; √5)

Ответ: a ∈ (-√5; -√3) ∪ (√3; √5)

Задача 2: Уравнение с заменой и отрезком

Условие: Найдите все a, при которых уравнение
√(1 - x²) + 1 = a y² - 9a y + 15 имеет ровно два различных решения на отрезке [0; 1].

Решение:

Делаем замену: y = √(1 - x²) + 1. Анализ показывает, что на отрезке x ∈ [0; 1] функция y(x) строго убывает, и y ∈ [1; 2]. Каждому y соответствует ровно один x.
Итог: Исходному уравнению с x на отрезке [0; 1] соответствуют ровно два решения y на отрезке [1; 2] в новом уравнении: a y² - 9a y + 15 = 0.
Метод гвоздей: Для квадратного уравнения требуем два корня на отрезке [1; 2].
- a = 0 не подходит (линейное уравнение, один корень).
- Рассматриваем случаи a > 0 и a < 0 (ветви параболы вверх/вниз).
Система условий (например, для a < 0, ветви вниз):
- f(1) ≤ 0
- f(2) ≤ 0
- D > 0
- y₀ ∈ (1; 2) (вершина)
Вычисления: Первое условие f(1) ≤ 0 даёт a ≥ 2.5, что противоречит рассматриваемому случаю a < 0. Случай a > 0 также приводит к пустому множеству решений.

Ответ: ∅ (нет таких значений a).

Задача 3: Уравнение с монотонными функциями

Условие: Найдите все a, при которых любой корень уравнения
3 * ⁵√(6.2x - 5.2) + log₅(4x + 1) + 5a = 0 принадлежит отрезку [1; 6].

Решение:

Анализ монотонности:
- ⁵√(6.2x - 5.2) — строго возрастающая функция (сдвиг и растяжение корня нечётной степени).
- log₅(4x + 1) — строго возрастающая (основание > 1).
- Сумма строго возрастающих функций — строго возрастающая.
- 5a — константа, сдвигает график.
Вывод: Левая часть h(x) — строго возрастающая функция. У неё может быть не более одного корня.
Чтобы этот единственный корень лежал на [1; 6], нужно:
- h(1) ≤ 0 (функция в начале отрезка не выше оси X)
- h(6) ≥ 0 (функция в конце отрезка не ниже оси X)
Вычисляем:
- h(1) = 3*1 + 1 + 5a ≤ 0 → 5a ≤ -4 → a ≤ -4/5
- h(6) = 3*2 + 2 + 5a ≥ 0 → 5a ≥ -8 → a ≥ -8/5
Пересечение: a ∈ [-8/5; -4/5]

Ответ: a ∈ [-1.6; -0.8]

Задача 4: Дикая функция и графический анализ

Условие: Найдите все a, при которых уравнение
-log₂(-x - 3) + 2^(x+5) - a = x² + 6x + 7 имеет ровно одно решение на [-4; -3).

Решение:

ОДЗ: -x - 3 > 0 → x < -3.
Исследуем левую часть без a: y(x) = -log₂(-x - 3) + 2^(x+5).
- Берём производную: y'(x) = 1/((-x-3)ln2) + 2^(x+5)*ln2.
- На ОДЗ оба слагаемых > 0 → y'(x) > 0 → функция строго возрастает на [-4; -3).
- При x → -3⁻ логарифм уходит в -∞, с минусом — в +∞. Функция стремится к +∞.
- y(-4) = -log₂(1) + 2¹ = 2.
Правая часть: f(x) = x² + 6x + 7 — парабола с вершиной в (-3, -2). На отрезке [-4; -3) она возрастает от f(-4) = -1 до f(-3) = -2 (выколота).
Графическая интерпретация:
- Фиолетовый график y(x) возрастает от точки (-4; 2) к асимптоте x = -3.
- Синий график f(x) — кусок параболы.
- -a сдвигает фиолетовый график вверх/вниз.
Условие одного решения: Чтобы графики пересеклись ровно один раз на отрезке, нужно, чтобы в точке x = -4 фиолетовый график (уже сдвинутый на -a) был ниже или касался синего.
- y(-4) - a ≤ f(-4)
- 2 - a ≤ -1
- a ≥ 3

Ответ: a ∈ [3; +∞)

Задача 5: Окружность и прямая с параметром

Условие: Найдите все a ≠ 0, при которых система
{ x² + y² = |1.6a|; y = a(x - a) } имеет ровно два решения.

Решение:

Первое уравнение — окружность с центром (0; 0) и радиусом R = √(|1.6a|).
Второе уравнение — прямая. Приведём к виду: ax - y - a² = 0.
Условие двух пересечений: расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.
- Формула расстояния: d = |A*x₀ + B*y₀ + C| / √(A² + B²).
- d = |a*0 - 1*0 - a²| / √(a² + (-1)²) = a² / √(a² + 1)
Неравенство: a² / √(a² + 1) < √(|1.6a|)
Упрощаем: Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
- a⁴ / (a² + 1) < 1.6|a|
- Умножаем на знаменатель: a⁴ < 1.6|a|(a² + 1)
Замена: b = |a| > 0. Получаем: b⁴ - 1.6b³ - 1.6b < 0. Делим на b: b³ - 1.6b² - 1.6 < 0.
Решаем кубическое неравенство (например, угадываем корень b=2 или исследуем функцию):
- f(b) = b³ - 1.6b² - 1.6
- f(2) = 0 → разлагаем: (b - 2)(b² + 0.4b + 0.8) < 0.
- Квадратный трёхчлен всегда > 0 (D < 0).
- Решение: b - 2 < 0 → b < 2.
Возвращаемся к a: |a| < 2, учитывая a ≠ 0.

Ответ: a ∈ (-2; 0) ∪ (0; 2)

Задача 6: Анализ функции с параметром и поиск множества значений

Ключевые тезисы:

Задача сводится к исследованию функции для нахождения значений параметра, при которых множество значений функции содержит ровно одно целое число.
Анализ проводится через производную, пределы и эскиз графика.
Ключевой вывод: число 1 всегда принадлежит множеству значений функции при любом параметре.
Окончательное условие — функция должна принимать значения строго между 0 и 2, чтобы других целых чисел не было.

Условие: Дана функция y(x) = (x² - 2x + a) / (x² + 6). Найдите все значения параметра a, при которых множество её значений содержит ровно одно целое число.

Исходная функция и её производная

Находим производную для анализа монотонности:
y' = [ (2x - 2)(x² + 6) - (x² - 2x + a)(2x) ] / (x² + 6)²

После преобразований знак производной определяется выражением:
y' = 2 * (x - x₁)(x - x₂) / (x² + 6)², где x₁ и x₂ — корни квадратного трёхчлена в числителе.

Важные наблюдения:

Дискриминант числителя положителен (D > 0), значит, корни x₁ и x₂ существуют.
Произведение корней равно -6 (отрицательно), следовательно, один корень отрицательный (x₁ < 0), а другой положительный (x₂ > 0).
Знаменатель (x² + 6) всегда положителен, поэтому на знак производной не влияет.

Поведение функции на бесконечности (асимптоты)

Ищем горизонтальные асимптоты, вычисляя пределы на бесконечности:

lim (x→±∞) y(x) = lim (x→±∞) (x² - 2x + a) / (x² + 6)

Делим числитель и знаменатель на x²:
= lim (1 - 2/x + a/x²) / (1 + 6/x²) = 1 / 1 = 1

Вывод: Прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой. График функции прижимается к этой прямой при x → +∞ и x → -∞.

Построение эскиза графика

Используя знаки производной и асимптоту, строим схематичный график:

Интервалы монотонности:
- (-∞, x₁): y' > 0 → функция возрастает.
- (x₁, x₂): y' < 0 → функция убывает.
- (x₂, +∞): y' > 0 → функция возрастает.
Точки экстремума: В x₁ — локальный максимум, в x₂ — локальный минимум.
Асимптота: С обеих сторон график прижимается к линии y = 1.

Таким образом, множество значений функции — это интервал между минимумом (y(x₂)) и максимумом (y(x₁)): E(y) = [y(x₂); y(x₁)].

Ключевое наблюдение и переформулировка задачи

Число 1 всегда лежит в множестве значений E(y). Это можно доказать двумя способами:

Через асимптотику: График прижимается к y=1 на бесконечностях, проходя через область значений.
Аналитически: Уравнение y(x) = 1 всегда имеет решение x = (a - 6)/2 при любом a, так как ОДЗ отсутствует.

Условие задачи: "Множество значений функции содержит ровно одно целое число". Так как 1 уже есть всегда, других целых чисел быть не должно.

Следовательно, всё множество значений должно лежать внутри интервала (0, 2), исключая другие целые числа:
0 < y(x) < 2 для всех x.

Решение двойного неравенства

Подставляем выражение для y(x):
0 < (x² - 2x + a) / (x² + 6) < 2

Домножаем на положительный знаменатель (x² + 6):

0 < x² - 2x + a
x² - 2x + a < 2x² + 12 → 0 < x² + 2x + (12 - a)

Получаем систему: две квадратные параболы с ветвями вверх должны быть положительны при всех x. Это возможно, только если их дискриминанты отрицательны.

Для первого неравенства: D₁ = 4 - 4a < 0 → a > 1
Для второго неравенства: D₂ = 4 - 4*(12 - a) = 4 - 48 + 4a = 4a - 44 < 0 → a < 11

Окончательный ответ: Параметр a должен принадлежать интервалу:
a ∈ (1; 11)

Выводы

Главная идея — свести сложную параметрическую задачу к условию положительности квадратных трёхчленов.
Критически важно было понять поведение функции на бесконечности и доказать, что y=1 всегда входит в множество значений.
Финальное условие 0 < y(x) < 2 гарантирует, что единственным целым числом в множестве значений будет 1.
Решение демонстрирует, как выход за рамки шаблонных алгоритмов (через анализ графика и пределов) позволяет решить сложную задачу с параметром.