Конспект

Действительные числа

Действительные числа — это все числа, которые можно изобразить точками на числовой прямой. Они возникают как расширение более простых числовых множеств.

Представление чисел

Любое число можно представить в виде десятичной дроби. Существует два принципиально разных типа таких дробей.

• Конечные или бесконечные периодические дроби — это рациональные числа. Их можно представить в виде отношения двух целых чисел.
• Бесконечные непериодические дроби — это иррациональные числа. Их нельзя точно выразить в виде дроби.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Свойства действительных чисел

Действительные числа наследуют и расширяют свойства рациональных чисел, что делает их полной и удобной для анализа системой.

• Арифметические операции: Над ними можно выполнять все арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), которые обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
• Сравнимость: Для любых двух действительных чисел a и b справедливо ровно одно из трёх: a < b, a = b или a > b.
• Плотность: Между любыми двумя различными действительными числами всегда можно вставить ещё одно действительное (и даже рациональное) число.

Важнейшее свойство: полнота

Полнота — ключевое свойство, отличающее множество действительных чисел от рациональных. Оно формализует интуитивное представление о непрерывности числовой прямой.

• Если множество рациональных чисел имеет «дырки» (например, нет рационального числа, равного √2), то множество действительных чисел таких «дыр» не имеет.
• Это свойство является фундаментом для строгого обоснования теории пределов, понятий производной и дифференцируемости.

Ограниченные множества и грани

Свойство полноты проявляется в существовании точных граней у ограниченных множеств.

• Множество ограничено сверху, если существует число C, которое не меньше любого элемента множества. Такое число называется верхней границей.
• Множество ограничено снизу, если существует число c, которое не больше любого элемента множества. Такое число называется нижней границей.

Точная верхняя и нижняя грань

Для любого ограниченного сверху множества действительных чисел существует наименьшая из всех верхних границ — точная верхняя грань (supremum, sup).

• Это такое число M, что:
  1. M является верхней границей (все элементы множества ≤ M).
  2. Если уменьшить M на сколь угодно малую величину ε > 0, то найдётся элемент множества, который будет больше этого уменьшенного значения.

Аналогично, у любого ограниченного снизу множества существует наибольшая из всех нижних границ — точная нижняя грань (infimum, inf).

Именно это свойство — существование точных граней у ограниченных множеств — и есть суть полноты действительных чисел. В множестве рациональных чисел ограниченное сверху множество может не иметь точной верхней грани, которая также была бы рациональным числом.

Пример для понимания

Рассмотрим множество рациональных чисел, квадрат которых меньше 2: { x ∈ Q : x² < 2 }.

• В множестве рациональных чисел это множество ограничено сверху, но у него нет точной верхней грани (так как √2 — иррациональное число).
• В множестве действительных чисел у этого же множества точная верхняя грань существует и равна √2. При этом √2 может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству. Если она принадлежит, то она является максимальным элементом.