Расстояние между двумя точками на плоскости
Для нахождения расстояния между двумя точками с заданными координатами используется формула, выведенная из теоремы Пифагора.
Пусть даны точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂). Если спроецировать эти точки на оси координат, можно построить прямоугольный треугольник, где:
- Длина одного катета равна |x₂ – x₁|
- Длина другого катета равна |y₂ – y₁|
Применяя теорему Пифагора, получаем формулу для расстояния d:
d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
Знаки модуля в формуле не нужны, так как разности возводятся в квадрат.
Пример: Найти расстояние между точками A(-2, -3) и B(-8, 5).
- d = √((-8 – (-2))² + (5 – (-3))²) = √((-6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
Деление отрезка в заданном отношении
Даны точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂). Точка M(x, y) делит отрезок M₁M₂ в отношении λ, то есть M₁M / MM₂ = λ. Требуется найти координаты точки M.
Используя обобщенную теорему Фалеса, можно вывести формулы для координат точки деления:
- x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ)
- y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ)
Частный случай — середина отрезка: Если точка делит отрезок пополам, то λ = 1. Формулы упрощаются до среднего арифметического координат концов отрезка:
- x = (x₁ + x₂) / 2
- y = (y₁ + y₂) / 2
Пример: Найти середину отрезка AB, где A(2, -3) и B(-4, 7).
- x = (2 + (-4)) / 2 = -1
- y = (-3 + 7) / 2 = 2
Середина отрезка имеет координаты (-1, 2).
Итог
Получены две ключевые аналитические формулы для работы с точками на плоскости:
- Формула расстояния между двумя точками.
- Формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении (включая частный случай середины отрезка).