Конспект

Угол между плоскостями

При пересечении двух непараллельных и несовпадающих плоскостей образуются четыре двугранных угла, попарно равных друг другу. Углом между плоскостями принято считать меньший из этих двугранных углов.

Линейный угол двугранного угла строится так:

• Из произвольной точки на линии пересечения плоскостей проводятся перпендикуляры к этой линии, каждый в своей плоскости.
• Угол между этими перпендикулярами и является искомым углом между плоскостями.

Формула для вычисления угла

Если плоскости заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то их нормальные векторы имеют координаты: N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂).

Косинус угла φ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами.

Формула для вычисления:
cos φ = |(A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂)| / (√(A₁² + B₁² + C₁²) · √(A₂² + B₂² + C₂²))

Использование модуля в числителе гарантирует, что по этой формуле всегда находится острый угол между плоскостями.

Частные случаи взаимного расположения плоскостей

• Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны. Это означает пропорциональность соответствующих коэффициентов в уравнениях:
  A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂
  Пример: Плоскости 3x - y + 2z + 1 = 0 и 6x - 2y + 4z - 3 = 0 параллельны, так как все коэффициенты второй плоскости в два раза больше.

• Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны. Условие перпендикулярности:
  A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂ = 0
  Это следует из того, что косинус прямого угла (90°) равен нулю.

Пример вычисления

Найти угол между плоскостями:

1. 11x + 8y - 7z + 1 = 0
2. 7x - 2y - 8z - 2 = 0

Решение:

1. Нормальные векторы: N₁(11, 8, -7), N₂(7, -2, -8).
2. Подставляем в формулу:
   cos φ = |11·7 + 8·(-2) + (-7)·(-8)| / (√(11²+8²+(-7)²) · √(7²+(-2)²+(-8)²)) = |77 -16 +56| / (√(234) · √(117)) = 117 / (√234 · √117) = 1/√2
3. Следовательно, φ = arccos(1/√2) = 45°.

Смежный (тупой) двугранный угол в этом случае будет равен 180° - 45° = 135°.