Вебинар по геометрии (№23, 1-я часть 2-й части)

Ключевые тезисы:

Главная тема геометрии во 2-й части — подобие треугольников
Сегодня разбираем 10 из 20 прототипов задачи №23 (геометрия)
Основные темы: треугольники и четырёхугольники (параллелограмм, ромб, трапеция)
Важно уметь оформлять решение на полный балл
Формулы (например, для высоты из прямого угла) нельзя использовать без доказательства

Подобие треугольников (краткий экскурс)

Подобные треугольники — одинаковые по форме, но разные по размеру (как будто равномерно «раздули»).

Признаки подобия:

По двум углам (используется в 90% задач)
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними
По трём пропорциональным сторонам

Как искать равные углы для подобия:

Примитивные углы (проверяем в первую очередь):
- Общие
- Вертикальные
- Прямые (90°)
Углы из теорем (проверяем во вторую очередь):
- Накрест лежащие / соответственные / односторонние (при параллельных прямых)
- Углы, связанные с окружностью

Оформление подобия:

Записываем треугольники в порядке соответствия равных углов (например, △AMB ~ △CMD).
Обязательно указываем, по какому признаку подобны, и доказываем равенство углов.
Для углов при параллельных прямых указываем параллельные прямые и секущую.

Как выписывать пропорцию из подобия:

Способ 1 (по буквам): Если треугольники записаны в правильном порядке (равные углы на одинаковых местах), то:
- Первые две буквы к первым двум
- Вторые две ко вторым двум
- Первая и третья к первой и третьей
Способ 2 (по картинке): Пропорциональные стороны лежат напротив равных углов.

Разбор задач

Задачи на треугольники

Задача 1: Отрезки на параллельных прямых

Дано: AB || DC, AC и BD пересекаются в точке M. AB = 14, DC = 42, AC = 52.
Найти: MC.

Решение:

Вводим переменную: MC = x ⇒ AM = 52 - x.
△AMB ~ △CMD по двум углам:
- ∠AMB = ∠DMC (вертикальные)
- ∠ABM = ∠CDM (накрест лежащие при AB || DC и секущей BD)
Составляем пропорцию: AM / CM = AB / CD.
(52 - x) / x = 14 / 42 = 1/3
Решаем уравнение: 3(52 - x) = x ⇒ 156 - 3x = x ⇒ 4x = 156 ⇒ x = 39.
Ответ: 39.

Задача 2: Прямая, параллельная стороне треугольника

Дано: В △ABC прямая MN || AC пересекает AB и BC в точках M и N. MN = 13, AC = 65, NC = 28.
Найти: BN.

Решение:

Вводим переменную: BN = x ⇒ BC = x + 28.
△MBN ~ △ABC по двум углам:
- ∠B — общий
- ∠BNM = ∠BCA (соответственные при MN || AC и секущей BC)
Пропорция: BN / BC = MN / AC.
x / (x + 28) = 13 / 65 = 1/5
Решаем: 5x = x + 28 ⇒ 4x = 28 ⇒ x = 7.
Ответ: 7.

Задача 3: Высота в прямоугольном треугольнике (метод площадей)

Дано: △ABC (∠C = 90°), катеты AC = 21, BC = 28.
Найти: Высоту CH к гипотенузе AB.

Решение:

Находим гипотенузу по теореме Пифагора: AB² = 21² + 28² = 441 + 784 = 1225 ⇒ AB = 35.
Метод площадей: Площадь одного треугольника можно посчитать двумя способами и приравнять.
- S = 1/2 * AC * BC (как прямоугольного)
- S = 1/2 * AB * CH (как произвольного, где CH — высота к основанию AB)
Приравниваем: 1/2 * 21 * 28 = 1/2 * 35 * CH.
Умножаем на 2: 21 * 28 = 35 * CH.
Выражаем CH: CH = (21 * 28) / 35 = 588 / 35 = 84/5 = 16.8.
Ответ: 84/5 (или 16.8).

Задача 4: Высота в прямоугольном треугольнике (аналогичная)

Дано: △ABC (∠C = 90°), AC = 20, AB = 52.
Найти: Высоту CH.

Решение:

Находим катет BC по теореме Пифагора: BC² = AB² - AC² = 52² - 20² = 2704 - 400 = 2304 ⇒ BC = 48.
Методом площадей: AC * BC = AB * CH.
20 * 48 = 52 * CH ⇒ CH = 960 / 52 = 240/13.
Ответ: 240/13.

Задача 5: Высота из вершины прямого угла (два способа)

Дано: △ABC (∠B = 90°), BH — высота к гипотенузе. AH = 5, AC = 45.
Найти: AB.

Способ 1 (через свойство высоты):

Находим HC: HC = AC - AH = 45 - 5 = 40.
Свойство высоты из прямого угла: BH² = AH * HC = 5 * 40 = 200.
В △AHB по теореме Пифагора: AB² = AH² + BH² = 25 + 200 = 225 ⇒ AB = 15.

Способ 2 (через подобие):

△ABH ~ △ABC по двум углам:
- ∠A — общий
- ∠AHB = ∠ABC = 90° (BH — высота)
Пропорция: AB / AC = AH / AB ⇒ AB² = AH * AC = 5 * 45 = 225 ⇒ AB = 15.
Ответ: 15.

⬢ Задачи на четырёхугольники

Задача 6: Биссектриса в параллелограмме

Дано: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. AB = 9, KC = 15.
Найти: Периметр параллелограмма.

Решение:

∠BAK = ∠KAD (биссектриса).
∠BKA = ∠KAD (накрест лежащие при BC || AD и секущей AK).
Из п.1 и п.2: ∠BAK = ∠BKA ⇒ △ABK — равнобедренный ⇒ AB = BK = 9.
BC = BK + KC = 9 + 15 = 24. В параллелограмме противоположные стороны равны: AD = BC = 24, CD = AB = 9.
Периметр P = AB + BC + CD + AD = 9 + 24 + 9 + 24 = 66.
Ответ: 66.

Задача 7: Высота ромба

Дано: В ромбе ABCD высота AH делит сторону DC на отрезки DH = 12, HC = 3.
Найти: Высоту AH.

Решение:

Все стороны ромба равны: DC = DH + HC = 12 + 3 = 15 ⇒ AD = DC = 15.
△ADH — прямоугольный (AH — высота). По теореме Пифагора:
AH² = AD² - DH² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81 ⇒ AH = 9.
Ответ: 9.

Задача 8: Углы ромба

Дано: В ромбе расстояние от точки пересечения диагоналей O до стороны BC равно 14, диагональ BD = 56.
Найти: Углы ромба.

Решение:

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: BO = BD / 2 = 28.
△BOH — прямоугольный (OH — перпендикуляр к BC). OH = 14, OB = 28 ⇒ OH = 1/2 OB.
Следовательно, ∠OBH = 30° (катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°).
Диагонали ромба являются биссектрисами углов ⇒ ∠ABC = 2 * ∠OBH = 60°.
В ромбе ∠ABC + ∠BAD = 180° (односторонние при BC || AD) ⇒ ∠BAD = 180° - 60° = 120°.
Противоположные углы ромба равны: ∠ABC = ∠ADC = 60°, ∠BAD = ∠BCD = 120°.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.

Задача 9: Биссектрисы в трапеции (алгебраический способ)

Дано: В трапеции ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке F на боковой стороне AB. AF = 16, BF = 12.
Найти: AB.

Решение:

Вводим переменные: ∠BAF = ∠FAD = x, ∠ABF = ∠FBC = y.
Поскольку AD || BC, то ∠BAD + ∠ABC = 180° (односторонние углы).
Следовательно, 2x + 2y = 180° ⇒ x + y = 90°.
В △AFB сумма углов: ∠AFB = 180° - (x + y) = 180° - 90° = 90°. Значит, △AFB — прямоугольный.
По теореме Пифагора: AB² = AF² + BF² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 ⇒ AB = 20.
Ответ: 20.

Решение геометрических задач с тригонометрией

Ключевые тезисы

Решение задачи основано на применении синуса в прямоугольных треугольниках
Важно корректно обозначать элементы (например, высоту) для упрощения записей
Поэтапное оформление решения помогает избежать ошибок

Задача 10: Высота в трапеции (тригонометрический способ)

Дано: В трапеции ABCD основания AD и BC, ∠D = 30°, ∠B = 45°, CD = 32.
Найти: AB.

Решение:

Проведём высоты CH и AE к основанию AD. Обозначим CH = AE = h.
Первый треугольник (△CDH):
- Используем определение синуса: синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе
- Для угла ∠D = 30°: sin 30° = CH / CD = h / 32.
- Поскольку sin 30° = 1/2, получаем: 1/2 = h / 32.
- Отсюда h = 16.
Второй треугольник (△ABE):
- В прямоугольном треугольнике ABE снова применяем синус.
- sin(∠B) = AE / AB = h / AB.
- Подставляем известные значения: √2 / 2 = 16 / AB.
- Находим AB: AB = (16 × 2) / √2 = 32 / √2.
- Избавляемся от иррациональности в знаменателе: AB = (32√2) / 2 = 16√2.
  Ответ: 16√2.

Организационные моменты и обратная связь

По поводу обозначений

Введение общей переменной h для высоты (CH = h) упрощает запись и дальнейшие выкладки
Это позволяет избежать путаницы и сократить объяснения

Расписание занятий

Занятия распределены для лучшего усвоения: среда (завершение темы 23), четверг (начало темы 24), понедельник (продолжение темы 24)
Такое планирование помогает «разгрузить» мозг между интенсивными занятиями

Домашнее задание и материалы

Домашнее задание будет доступно на платформе «Бобёр»
Дополнительный ролик (9 минут) с пояснениями по каждому учебному блоку будет опубликован в Telegram

Выводы

Чёткое обозначение элементов и использование стандартных тригонометрических соотношений — основа успешного решения
Постепенное, логически оформленное решение снижает количество ошибок
Равномерное распределение учебной нагрузки способствует лучшему усвоению материала