Нормальное уравнение плоскости
Плоскость задана нормальным уравнением: x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0. В этом уравнении:
- cos α, cos β, cos γ — координаты единичного нормального вектора плоскости.
- p — расстояние от начала координат до плоскости.
Вывод формулы расстояния от точки до плоскости
Пусть дана точка M с координатами (x₀, y₀, z₀). Требуется найти расстояние d от этой точки до заданной плоскости.
Для вывода через точку M проводится плоскость, параллельная исходной. Расстояние d между этими параллельными плоскостями равно разности расстояний от начала координат до каждой из них. В результате вывода получается формула:
d = | x₀ cos α + y₀ cos β + z₀ cos γ - p |
Знак модуля в формуле объединяет два возможных случая взаимного расположения точки и начала координат относительно плоскости.
Итог: Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, заданной нормальным уравнением, достаточно подставить координаты точки в левую часть этого уравнения и взять модуль полученного числа.
Общий случай и пример решения
Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, его необходимо привести к нормальному виду. Формула для расстояния в этом случае принимает вид:
d = | A x₀ + B y₀ + C z₀ + D | / √(A² + B² + C²)
Пример: Найти расстояние от точки M(2, -3, 1) до плоскости x + 2y - 2z - 9 = 0.
- Коэффициенты общего уравнения: A=1, B=2, C=-2, D=-9.
- Подставляем в формулу: d = |1·2 + 2·(-3) + (-2)·1 - 9| / √(1² + 2² + (-2)²)
- Вычисляем: d = |2 - 6 - 2 - 9| / √(1 + 4 + 4) = | -15 | / 3 = 5.
Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 5.