Множества и диаграммы Венна
Ключевые тезисы
- Диаграммы Венна — мощный инструмент для наглядного представления множеств и решения задач.
- Решение задач на множества состоит из трёх этапов: построение схемы, дополнение её известными числами и нахождение ответа по заполненной схеме.
- Не обязательно заполнять числами все области диаграммы для решения задачи — достаточно найти значения, ведущие к ответу.
Основное содержание
Базовый пример с мухами
Рассматривается пример с двумя множествами:
- Множество K — мухи, попробовавшие колу.
- Множество T — мухи, попробовавшие тархун.
- Множество M — все мухи в доме (универсальное множество).
Множество M можно разбить на четыре непересекающихся подмножества:
- Мухи, утонувшие только в коле.
- Мухи, утонувшие только в тархуне.
- Мухи, утонувшие в смеси (пересечение K и T).
- Мухи, которые нигде не утонули.
Пример
Если в чистой коле утонуло 30 мух, в чистом тархуне — 50, в смеси — 20, а не утонуло 10, то общее число мух: 30 + 50 + 20 + 10 = 110.
- Тархун погубил: 50 (только тархун) + 20 (смесь) = 70 мух.
- Кола погубила: 30 (только кола) + 20 (смесь) = 50 мух.
Алгоритм решения задач
- Построить схему для множеств из условия.
- Внести на схему все известные из условия числовые данные. Отметить знаком вопроса искомую величину.
- Дополнить схему, вычисляя недостающие числа для отдельных областей.
- Найти ответ, используя полностью заполненную схему.
Решение обратной задачи
Рассмотрена задача, где известны:
- Общее число мух (M) = 120.
- Мух, погубленных тархуном (множество T) = 68.
- Мух, погубленных колой (множество K) = 57.
- Мух, оставшихся в живых (вне K и T) = 7.
- Найти нужно: количество мух, погубленных и колой, и тархуном одновременно (пересечение K и T).
Ход решения:
- Находим число элементов в объединении K и T: 120 (всего) - 7 (не в K и не в T) = 113.
- Находим число элементов только в K (без пересечения): 113 (объединение) - 68 (T) = 45.
- Находим искомое пересечение: 57 (всё K) - 45 (только K) = 12.
Выводы
- Диаграммы Венна превращают сложные логические задачи в наглядные арифметические действия.
- Часто существует несколько путей решения, ведущих к одному ответу.
- Ключевой навык — умение переводить условие текстовой задачи на язык множеств и их диаграмм.