Конспект

Алгебраические выражения

Алгебраическое выражение — это выражение, состоящее из букв, цифр и знаков арифметических действий. Например: a = √(x² + 2x + 3). Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают все числовые значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Чаще всего в качестве алгебраических выражений рассматриваются уравнения и неравенства.

Уравнения и тождества

Если алгебраическое равенство справедливо при всех значениях входящих в него букв, оно называется тождеством. Если равенство справедливо только при некоторых значениях, оно называется уравнением.

Решить уравнение — значит найти все значения неизвестных (обычно обозначаемых последними буквами алфавита), которые обращают уравнение в верное числовое равенство.

Пример решения уравнения:
∛(3x + 2) = 2

1. Возводим обе части в куб: 3x + 2 = 8
2. Переносим: 3x = 6
3. Находим корень: x = 2

Формулы сокращённого умножения и многочлены

Частный случай тождеств — формулы сокращённого умножения. Пример одной из них:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Многочлен (полином) — важный вид алгебраического выражения. Общий вид многочлена степени n:
Pₙ(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ

• Многочлены считаются равными, если они равны при всех значениях переменной (тождественно равны).
• Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
• Если два многочлена одинаковой степени тождественно равны, то равны все их соответствующие коэффициенты.
• Число α называется корнем многочлена, если Pₙ(α) = 0.

Деление многочленов

Многочлены можно делить «в столбик». Результат деления представляется в виде: целая часть + (остаток / делитель).

Пример: Деление (x³ + 2x + 3) на (x² + 1).

1. x³ делим на x², получаем x.
2. Умножаем x на делитель: x * (x² + 1) = x³ + x.
3. Вычитаем из исходного многочлена: (x³ + 2x + 3) - (x³ + x) = x + 3.
4. Дальнейшее деление невозможно, так как степень остатка (x + 3) меньше степени делителя (x² + 1).

Итог: (x³ + 2x + 3) / (x² + 1) = x + (x + 3)/(x² + 1)

Преобразования выражений

Важным навыком является преобразование алгебраических выражений, например, освобождение от иррациональности в знаменателе. Для этого используется умножение на сопряжённое выражение.

Пример: Преобразование выражения (√(x+a) - √(x-a)).

1. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое: (√(x+a) + √(x-a)).
2. В числителе получаем разность квадратов: (x+a) - (x-a) = 2a.
3. В знаменателе остаётся сумма корней.

Результат: (√(x+a) - √(x-a)) = 2a / (√(x+a) + √(x-a))

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители, если найти его корни x₁ и x₂.

Формула разложения: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)