Конспект

YouTubeГипербола: определение, уравнение и свойства

Определение гиперболы

Гипербола — это множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между самими фокусами. Кривая состоит из двух симметричных ветвей.

Каноническое уравнение

Исходя из определения и используя формулу расстояния между точками, выводится каноническое уравнение гиперболы:

x²/a² - y²/b² = 1

Параметры a, b и c связаны соотношением: c² = a² + b², где 2c — расстояние между фокусами.

Основные параметры и элементы

  • Действительная ось: Отрезок длины 2a. Точки пересечения гиперболы с осью Ox (A₁(-a,0) и A₂(a,0)) называются вершинами, а a — действительной полуосью.
  • Мнимая ось: Параметр b называется мнимой полуосью. Он связан с построением основного прямоугольника.
  • Асимптоты: Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы. Их уравнения: y = ±(b/a)x. Они являются направляющими для качественного построения графика.
  • Основной прямоугольник: Прямоугольник с центром в начале координат, построенный через вершины A₁, A₂ и точки на оси Oy (0, b), (0, -b). Его стороны параллельны осям координат, а вершины лежат на асимптотах.

Эксцентриситет и форма гиперболы

Эксцентриситет гиперболы определяется как ε = c/a и всегда ε > 1.

Величина эксцентриситета определяет форму гиперболы через отношение сторон основного прямоугольника b/a:

  • Если ε близок к 1, то b/a мало, прямоугольник вытянут вдоль действительной оси, ветви гиперболы более «пологие».
  • С увеличением ε отношение b/a растёт, прямоугольник вытягивается вдоль мнимой оси, а ветви гиперболы становятся более «крутыми».

Частный случай: равносторонняя гипербола

Когда a = b, основной прямоугольник становится квадратом, а асимптоты пересекаются под прямым углом. Уравнение принимает вид x² - y² = a². Такая гипербола называется равносторонней.

Пример построения уравнения

Дано: расстояние между фокусами 2c = 10, уравнения асимптот y = ±0.75x.

  1. Из 2c=10 находим c=5.
  2. Из уравнения асимптот b/a = 0.75 получаем b = 3a/4.
  3. Подставляем в соотношение c² = a² + b²: 25 = a² + (9a²/16).
  4. Решая, находим a² = 16, а затем b² = 9.
  5. Искомое каноническое уравнение: x²/16 - y²/9 = 1.