Уравнение прямой через вектор нормали
Для вывода уравнения прямой используется векторная алгебра. Если задан нормальный вектор N(A, B) (A и B не равны нулю одновременно) и точка M₀(x₀, y₀), через которую проходит прямая, то уравнение этой прямой можно составить.
- На прямой выбирается произвольная точка M(x, y). Вектор M₀M имеет координаты (x - x₀, y - y₀).
- Поскольку прямая перпендикулярна нормальному вектору N, векторы M₀M и N ортогональны. Их скалярное произведение равно нулю.
- Скалярное произведение в координатной форме: A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0. Это уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.
Раскрыв скобки и обозначив выражение (-A·x₀ - B·y₀) как C, получаем общий вид.
Общее уравнение прямой
Преобразованное уравнение принимает канонический вид:
A·x + B·y + C = 0
Это общее уравнение прямой на плоскости. Оно является линейным относительно переменных x и y. Из него путём преобразований можно получить другие, более удобные в конкретных задачах виды уравнений (например, уравнение с угловым коэффициентом).
Частные случаи (неполные уравнения)
Общее уравнение называется неполным, если один или несколько коэффициентов равны нулю. Это определяет особое положение прямой относительно осей координат.
- Если A = 0: Уравнение имеет вид B·y + C = 0 или y = const. Прямая параллельна оси Ox. При C = 0 она совпадает с осью Ox.
- Если B = 0: Уравнение имеет вид A·x + C = 0 или x = const. Это вертикальная прямая, параллельная оси Oy. При C = 0 она совпадает с осью Oy.
- Если C = 0: Уравнение A·x + B·y = 0 или y = k·x. Такая прямая всегда проходит через начало координат (0,0).
Пример составления уравнения
Задача: Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку D(3, 2) параллельно прямой 5x - 4y + 3 = 0.
- Нормальный вектор заданной прямой N(5, -4). Поскольку искомые прямые параллельны, этот же вектор будет нормальным для новой прямой.
- Используем уравнение прямой через точку с известным нормальным вектором: A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0.
- Подставляем данные: 5·(x - 3) + (-4)·(y - 2) = 0.
- После раскрытия скобок и приведения получаем итоговое общее уравнение: 5x - 4y - 7 = 0.