Конспект

YouTubeОпределители и метод Крамера: от 2x2 до 3x3

Определители второго порядка

Определитель второго порядка — это число, вычисляемое по четырём элементам матрицы по правилу: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Формула вычисления:
Для определителя

| a  b |
| c  d |

значение равно a*d - b*c.

Примеры вычислений:

  • |5 3| = 5*(-7) - 2*3 = -35 - 6 = -41
    |2 -7|
  • |n+1 n | = (n+1)(n-1) - n*n = (n² - 1) - n² = -1
    | n n-1|
  • |cos α -sin α| = cos²α - (-sin α * sin α) = cos²α + sin²α = 1
    |sin α cos α|

Определитель системы из двух линейных уравнений используется для решения по методу Крамера.

Решение систем уравнений методом Крамера (2x2)

Метод применяется к системе вида:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Алгоритм решения:

  1. Вычисляется главный определитель системы (Δ): |a₁ b₁|
    |a₂ b₂|
  2. Вычисляется определитель для x (Δₓ): заменяется столбец коэффициентов при x на столбец свободных членов |c₁ b₁|
    |c₂ b₂|
  3. Вычисляется определитель для y (Δᵧ): заменяется столбец коэффициентов при y на столбец свободных членов |a₁ c₁|
    |a₂ c₂|
  4. Находятся корни: x = Δₓ / Δ, y = Δᵧ / Δ.

Пример:
Система:
2x + 5y = 1
3x + 7y = 2

  • Δ = |2 5| = 27 - 53 = 14 - 15 = -1
    |3 7|
  • Δₓ = |1 5| = 17 - 52 = 7 - 10 = -3
    |2 7|
  • Δᵧ = |2 1| = 22 - 13 = 4 - 3 = 1
    |3 2|

Результат: x = (-3)/(-1) = 3, y = 1/(-1) = -1.

Определители третьего порядка

Вычисляются разложением по строке или столбцу. Алгебраическое дополнение элемента aᵢⱼ равно Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ * Mᵢⱼ, где Mᵢⱼ — минор (определитель матрицы, полученной вычёркиванием i-й строки и j-го столбца).

Формула разложения по первой строке:
Δ = a₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂ + a₁₃*A₁₃

Пример вычисления:

| 2  1  3 |
| 5  3  2 | = 2*A₁₁ + 1*A₁₂ + 3*A₁₃
| 1  4  3 |
  • A₁₁ = (-1)² * |3 2| = 1*(3*3 - 2*4) = 9 - 8 = 1
    |4 3|
  • A₁₂ = (-1)³ * |5 2| = (-1)*(5*3 - 2*1) = (-1)*(15 - 2) = -13
    |1 3|
  • A₁₃ = (-1)⁴ * |5 3| = 1*(5*4 - 3*1) = 20 - 3 = 17
    |1 4|

Итого: Δ = 21 + 1(-13) + 3*17 = 2 - 13 + 51 = 40.

Решение систем уравнений методом Крамера (3x3)

Принцип аналогичен случаю 2x2. Для системы трёх уравнений с тремя неизвестными:

  1. Вычисляется главный определитель системы Δ из коэффициентов при неизвестных.
  2. Вычисляются определители Δₓ, Δᵧ, Δ₂ путём замены соответствующего столбца коэффициентов на столбец свободных членов.
  3. Находятся корни: x = Δₓ / Δ, y = Δᵧ / Δ, z = Δ₂ / Δ.

Пример (начало решения):
Дана система:
2x + 3y + 5z = 10
3x + 7y + 4z = 3
x + 2y + 2z = 3

Главный определитель:

    | 2 3 5 |
Δ = | 3 7 4 | = 2*(7*2 - 4*2) - 3*(3*2 - 4*1) + 5*(3*2 - 7*1)
    | 1 2 2 |

Δ = 2*(14-8) - 3*(6-4) + 5*(6-7) = 26 - 32 + 5*(-1) = 12 - 6 - 5 = 1.

Определитель для x (Δₓ) получается заменой первого столбца на столбец свободных членов (10, 3, 3). Его значение в данном примере равно 3.

Следовательно, x = Δₓ / Δ = 3 / 1 = 3. Для нахождения y и z необходимо аналогично вычислить Δᵧ и Δ₂ и подставить в формулы.