Расстояние между прямыми в пространстве

Рассматривается задача нахождения кратчайшего расстояния между двумя прямыми. Решение зависит от их взаимного расположения.

Пересекающиеся прямые: расстояние равно нулю.
Параллельные прямые: расстояние сводится к расстоянию от точки одной прямой до другой прямой.
Скрещивающиеся прямые: наиболее общий случай, где кратчайшее расстояние — это длина общего перпендикуляра.

Формула расстояния для скрещивающихся прямых

Пусть даны две прямые L₁ и L₂. Прямая L₁ задана точкой M₁(x₁, y₁, z₁) и направляющим вектором a₁(l₁, m₁, n₁). Прямая L₂ задана точкой M₂(x₂, y₂, z₂) и направляющим вектором a₂(l₂, m₂, n₂).

Кратчайшее расстояние d между скрещивающимися прямыми можно найти, представив его как высоту параллелепипеда, построенного на векторах a₁, a₂ и M₁M₂.

Расстояние равно отношению объёма этого параллелепипеда к площади его основания.

Итоговая формула:
d = |[a₁, a₂, M₁M₂]| / |[a₁, a₂]|
где:

|[a₁, a₂, M₁M₂]| — модуль смешанного произведения векторов (числитель, объём).
|[a₁, a₂]| — модуль векторного произведения направляющих векторов (знаменатель, площадь основания параллелограмма).

Пример вычисления

Даны прямые в параметрической форме:

Прямая 1: точка M₁(4, 1, 3), направляющий вектор a₁(-3, 3, -6).
Прямая 2: точка M₂(1, 2, 1), направляющий вектор a₂(2, -6, -6).

Решение:

Находим вектор M₁M₂ = (1-4, 2-1, 1-3) = (-3, 1, -2).
Вычисляем модуль смешанного произведения |[a₁, a₂, M₁M₂]| через определитель из координат векторов. Результат: 108.
Находим векторное произведение [a₁, a₂]:
Результат: вектор (-54, -30, 12).
Вычисляем его длину (модуль): √((-54)² + (-30)² + 12²) = 6√110.
Подставляем в формулу: d = 108 / (6√110) = 18/√110.

Задача решена, кратчайшее расстояние равно 18/√110.