📚 Решение ВПР по математике для 10 класса

Решение ВПР по математике (10 класс)

Ключевые тезисы:

Разбор заданий первой и второй части ВПР
Применение базовых формул и свойств (степени, прогрессии, тригонометрия)
Использование геометрических и вероятностных методов
Практический подход к решению задач с пояснениями

Первая часть (задания с кратким ответом)

Проценты

Была цена X. После повышения на 20% стала 1,2X. Затем повышение на 30%: 1,3 × 1,2X = 1,56X
Общее повышение: (1,56X - X) / X × 100% = 56%

Степени

Используем свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении — вычитаются
Пример: b^(49+3) / b^(8+3) → b^(52) / b^(11) = b^(41)

Тригонометрия

sin 420° = sin(360° + 60°) = sin 60°
Вычисление: sin 45° × sin 60° = (√2/2) × (√3/2) = √6/4

Арифметическая прогрессия

Формула: a_n = -16 + 5n
a_1 = -11, a_12 = 44
Сумма: S_12 = (a_1 + a_12)/2 × 12 = 198

Параллелограмм

Соседние углы в параллелограмме в сумме дают 180°
Пусть один угол = x, другой = x + 40
Уравнение: x + (x + 40) = 180 → x = 70
Ответ: углы 70°, 70°, 110°, 110°

Вероятность (жребий)

Всего 21 участник, 7 из школы №3
Вероятность, что первая и последняя пара из школы №3: (7/21) × (6/20) = 0,1

Кружки (пересечение множеств)

Математика: 12 человек, программирование: 22, оба: 11
Только математика: 12 - 11 = 1
Только программирование: 22 - 11 = 11
Всего учащихся: 1 + 11 + 11 = 23

Парабола (график функции)

По точкам (1;2), (4;-1) и вершине (3;-2) находим уравнение: f(x) = x² - 6x + 7
Найти x, при которых f(x) = 98: x² - 6x + 7 = 98
Решение: x² - 6x - 91 = 0 → x₁ = -7, x₂ = 13

Вероятность (игральный кубик)

Сумма очков от 5 до 9. Всего 24 возможных исходов
Благоприятные исходы (одинаковые очки): только (3;3) и (4;4)
Вероятность: 2/24 = 1/12

Тригонометрия (тангенс двойного угла)

Дано: sin α = -√17/9, угол в III четверти
Находим cos α = -8/9 (через основное тригонометрическое тождество)
tan α = sin α / cos α = √17/8
tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan² α) = (2√17/8) / (1 - 17/64) = (√17 × 16) / 47

Площадь треугольника (через синус угла)

Площадь ΔABC = 68. Используем формулу: S = ½ × AB × AC × sin A
Находим sin A = 68 / (½ × 17 × 14)
Площадь ΔAMN = ½ × 7 × 5 × sin A = 10

Стереометрия (перпендикулярные прямые в пирамиде)

В правильной треугольной пирамиде с перпендикулярным ребром SA к основанию
Прямые NP и SM перпендикулярны (по теореме о трёх перпендикулярах)
Прямые SN и NP — не перпендикулярны
Прямые SA и OC — перпендикулярны (так как SA перпендикулярен всей плоскости)
Прямые NP и AO — перпендикулярны (AO — медиана/высота, NP параллелен стороне)

Вторая часть (задания с развернутым ответом)

Тригонометрическое уравнение

Уравнение: 2 sin² x + 3√2 sin x + 2 = 0
Замена: sin x = t
Решение квадратного уравнения: t = -√2/2
Корни: x = 5π/4 + 2πn, x = 7π/4 + 2πn
На отрезке [8; 13]: x = 13π/4, x = 15π/4

Неравенство с модулем

Неравенство: (x+1)² / ((x-5)(x+1)) ≥ 0
После сокращения: (x+1)/(x-5) ≥ 0, учитывая x ≠ -1
Решение: x ∈ (-∞; -1) ∪ (5; +∞)

График функции и параметр

Функция с модулем: требуется построить график f(x) = |3 - 9/(x+5)|
Определить, при каких C уравнение f(x) = C имеет одно решение
По графику: C = 3 и C = 0

Стереометрия (угол между плоскостями в призме)

В прямой призме основание — прямоугольный треугольник (AC=3, AB=4, AA₁=9)
Найти угол между плоскостью основания (ABC) и плоскостью (A₁BC)
Используем теорему о трёх перпендикулярах: проводим AE ⊥ BC в основании
tan угла ∠A₁EA = AA₁ / AE = 9 / (12/5) = 45/12 = 15/4
Ответ: угол равен arctan(15/4)

Вероятность (передача SMS)

Вероятность успеха в каждой попытке = 0,5
Найти вероятность, что потребуется не больше 4 попыток
Удобнее найти вероятность противоположного события (4 неудачи): 0,5⁴ = 0,0625
Ответ: 1 - 0,0625 = 0,9375

Выводы: ВПР содержит задания базового и повышенного уровня, требующие уверенного владения алгеброй, геометрией, тригонометрии и теорией вероятностей. Ключевые навыки: работа с процентами и прогрессиями, решение уравнений и неравенств, построение графиков, применение геометрических теорем (ТТП), вычисление вероятностей через противоположные события.