📐 Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности

Ключевые тезисы

Последовательность — это функция, ставящая в соответствие каждому натуральному числу (номеру) действительное число.
Член последовательности — это пара (номер, значение), а не просто число.
Предел последовательности (включая случаи ±∞) определяется через попадание членов в ε-окрестность предельного значения.
Последовательность сходится, только если у неё есть конечный (числовой) предел.
У любой последовательности может быть не более одного предела (в R̅).

Что такое последовательность?

Последовательность — это правило, по которому каждому натуральному числу n (номеру) ставится в соответствие некоторое действительное число aₙ.

Важно: член последовательности — это пара (номер n, значение aₙ).
Членов последовательности бесконечно много (по номерам), но множество её значений может быть конечным.

Определение предела

Говорят, что число a является пределом последовательности {aₙ}, если:

Для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такой номер N (зависящий от ε), что для всех номеров n ≥ N выполняется неравенство: |aₙ − a| < ε.

Геометрический смысл: Какую бы маленькую ε-окрестность (a − ε, a + ε) точки a мы ни взяли, в ней лежат все члены последовательности, начиная с некоторого номера (кроме, возможно, конечного числа первых членов).

Обобщённое определение предела (в `R̅` и `R̂`)

Для работы с бесконечными пределами вводятся расширенные множества:

R̅ = R ∪ {+∞, −∞} (расширенная числовая прямая).
R̂ = R̅ ∪ {∞} (добавляется символ бесконечности без знака).

Для любого элемента A из R̂ определяется его ε-окрестность:

Для числа a: (a − ε, a + ε).
Для −∞: (−∞, −1/ε).
Для +∞: (1/ε, +∞).
Для ∞: (−∞, −1/ε) ∪ (1/ε, +∞).

Общее определение: A (из R̂) — предел {aₙ}, если для любого ε > 0 найдётся номер N, такой что для всех n ≥ N элемент aₙ принадлежит ε-окрестности A.

Сходимость: Последовательность называется сходящейся, если у неё существует конечный (числовой) предел. Если предел равен ±∞ или ∞, последовательность расходится.

Как доказать, что число НЕ является пределом?

Отрицание определения предела (числового случая):

Число a не является пределом последовательности {aₙ}, если существует такое ε₀ > 0, что для любого номера N найдётся номер n ≥ N, для которого |aₙ − a| ≥ ε₀.

Геометрический смысл: Можно указать такую окрестность точки a, что вне её будут лежать члены последовательности со сколь угодно большими номерами.

Примеры анализа последовательностей

aₙ = 1/n → предел 0.
- Доказательство: Для любого ε > 0 нужно, чтобы 1/n < ε → n > 1/ε. Достаточно взять N = [1/ε] + 1. Тогда для всех n ≥ N условие выполняется.
aₙ = (−1)ⁿ → предела нет (ни конечного, ни бесконечного).
- Доказательство: Для любого предполагаемого предела a возьмём ε₀ = 1/2. В ε₀-окрестность a длиной 1 не могут одновременно попасть 1 и −1. Так как члены 1 и −1 встречаются бесконечно часто, для любого N найдётся n ≥ N с aₙ, не попавшим в эту окрестность.

Важная теорема: единственность предела

Если два элемента A и A' из R̅ не равны, то найдётся такое ε > 0, что их ε-окрестности не пересекаются.
Следствие (теорема единственности): У любой последовательности может быть не более одного предела в R̅ (и, следовательно, в R̂). Предел либо единственный, либо его нет.

Упражнения для самостоятельной проверки
Определите пределы (в R̅ и R̂) для последовательностей:

aₙ = n
aₙ = (−1)ⁿ * n