Математическое ожидание и его свойства
Ключевые тезисы
- Математическое ожидание — это среднее (взвешенное) значение случайной величины.
- Линейность математического ожидания — ключевое свойство, позволяющее упрощать сложные вычисления.
- Дисперсия измеряет разброс (среднее квадратичное отклонение) случайной величины вокруг её среднего значения.
- Распределение функции от случайной величины (например, X²) можно находить, не вычисляя заново всё распределение.
Определение математического ожидания
Математическое ожидание — это число, характеризующее среднее значение случайной величины.
Для дискретного случая (конечное или счётное число значений):
- Если пространство элементарных исходов конечно: E[X] = Σ (x(ωᵢ) * pᵢ), где pᵢ — вероятность исхода ωᵢ.
- Альтернативная, более практичная форма: E[X] = Σ (yₖ * P(X = yₖ)), где суммирование идёт по всем различным значениям yₖ, которые принимает величина X.
Для абсолютно непрерывного случая (задана плотность p(y)):
- E[X] = ∫ y * p(y) dy (интеграл по всей прямой).
В физической интерпретации математическое ожидание можно представлять как центр масс распределения.
Пример: количество треугольников в случайном графе
Постановка задачи: В случайном графе на n вершинах (каждое ребро существует с вероятностью p) случайная величина X — это количество треугольников (полных подграфов на 3 вершинах). Найти E[X].
Решение с использованием линейности:
- Заранее нумеруем все возможные тройки вершин (их Cₙ³).
- Введём индикаторные случайные величины Xᵢ, где Xᵢ = 1, если i-я тройка образует треугольник, и 0 в противном случае.
- Тогда X = X₁ + X₂ + ... + X₍Cₙ³₎.
- По линейности математического ожидания: E[X] = Σ E[Xᵢ].
- E[Xᵢ] = 1 * P(Xᵢ = 1) + 0 * P(Xᵢ = 0) = P(три конкретных ребра существуют) = p³.
- Итог: E[X] = Cₙ³ * p³.
Этот пример показывает силу линейности: мы нашли среднее число треугольников, не вычисляя сложное распределение величины X (например, P(X=0)), что было бы крайне трудоёмко.
Линейность математического ожидания
Формулировка: Для любых случайных величин X₁, X₂ и констант c₁, c₂ выполняется:
E[c₁X₁ + c₂X₂] = c₁E[X₁] + c₂E[X₂]
Это свойство тривиально вытекает из определения и является фундаментальным.
Пример применения: Для биномиальной случайной величины X ~ Bin(n, p) (число успехов в n испытаниях Бернулли).
- X можно представить как сумму индикаторов успеха в каждом испытании: X = I₁ + ... + Iₙ.
- E[Iᵢ] = p.
- Следовательно, E[X] = n * p.
Математическое ожидание функции от случайной величины
Чтобы найти E[f(X)], не нужно сначала искать распределение новой случайной величины f(X).
Правильная формула:
- Для дискретного случая: E[f(X)] = Σ f(yₖ) * P(X = yₖ)
- Для непрерывного случая: E[f(X)] = ∫ f(y) * p(y) dy
Пример: E[X²] вычисляется как Σ (yₖ² * P(X = yₖ)) или ∫ y² * p(y) dy, а не через распределение X².
Моменты распределения и дисперсия
- k-й момент: E[Xᵏ]
- k-й факториальный момент: E[X(X-1)...(X-k+1)] — полезен для вычислений с целочисленными величинами.
- Дисперсия (D[X] или Var[X]): Мера разброса. Центральный момент второго порядка.
- Определение: D[X] = E[(X - E[X])²]
- Альтернативная формула (часто удобнее для вычислений): D[X] = E[X²] - (E[X])²
Дисперсия не является линейной функцией. В общем случае D[X₁ + X₂] ≠ D[X₁] + D[X₂]. Условия равенства связаны с понятием независимости случайных величин.
Пример для распределения Пуассона: Если X ~ Pois(λ), то:
- E[X] = λ
- E[X(X-1)] = λ²
- Отсюда, используя альтернативную формулу, можно найти дисперсию.
Связь с теоремой Пуассона
В условиях предельной теоремы Пуассона (когда в схеме Бернулли n → ∞, p → 0, но n*p → λ) биномиальное распределение приближается к пуассоновскому.
- При этом E[Bin(n, p)] = n*p стремится к λ, что равно E[Pois(λ)].
- Это демонстрирует естественность связи: параметр λ в распределении Пуассона — это и есть математическое ожидание.
Выводы
- Математическое ожидание — основная числовая характеристика случайной величины, её «среднее значение».
- Свойство линейности — мощный инструмент для упрощения расчётов, позволяющий избегать нахождения полного распределения.
- Для вычисления E[f(X)] используется исходное распределение X, а не распределение f(X).
- Дисперсия, важнейшая характеристика разброса, вычисляется через обычные моменты.
- Понятие независимости случайных величин (тема следующей лекции) является ключевым для понимания того, когда дисперсия суммы равна сумме дисперсий.