Определение скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов a и b определяется как произведение их длин на косинус угла между ними: a · b = |a| · |b| · cos φ. Эквивалентная форма через проекцию: a · b = |a| · прᵃ b, где прᵃ b — проекция вектора b на направление вектора a.
Проекцию вектора b на вектор a можно определить как скалярное произведение b на единичный вектор направления a: прᵃ b = b · (a / |a|).
Свойства скалярного произведения
Операция обладает линейностью:
- Дистрибутивность: a · (b + c) = a·b + a·c
- Ассоциативность со скаляром: (λa) · b = λ(a·b), где λ — число.
Эти свойства позволяют вычислить скалярное произведение через координаты векторов.
Выражение через координаты и следствия
Если векторы заданы в координатах: a = (aₓ, aᵧ, a₂), b = (bₓ, bᵧ, b₂), то их скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a₂b₂.
Из этой формулы следуют важные соотношения:
- Квадрат длины вектора: a·a = |a|² = aₓ² + aᵧ² + a₂²
- Формула для косинуса угла: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|) = (aₓbₓ + aᵧbᵧ + a₂b₂) / (√(aₓ²+aᵧ²+a₂²) · √(bₓ²+bᵧ²+b₂²))
Примеры и приложения
Пример 1: Проверка на перпендикулярность
Даны векторы a = (0, 6, -3) и b = (2, 4, 8). Их скалярное произведение: 0·2 + 6·4 + (-3)·8 = 0 + 24 - 24 = 0.
Если a·b = 0, то cos φ = 0, следовательно, φ = π/2. Векторы a и b перпендикулярны.
Пример 2: Геометрическая интерпретация
Известно, что длины векторов суммы и разности равны: |a + b| = |a - b|. Это означает, что диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b, равны. Такой параллелограмм является прямоугольником, следовательно, исходные векторы a и b перпендикулярны.
Задача для самостоятельного решения
Дано: a + b + c = 0 и длины всех векторов равны 1 (|a| = |b| = |c| = 1). Требуется найти сумму попарных скалярных произведений: a·b + b·c + a·c.
Подсказка: Возведите исходное векторное равенство в квадрат (скалярно умножьте само на себя):
(a + b + c) · (a + b + c) = 0
В результате раскрытия получится сумма квадратов длин векторов (каждый равен 1) и удвоенная сумма искомых попарных произведений.