Ваш конспект

Разбор варианта ЕГЭ по математике (958)

Ключевые тезисы:

• Разбор реального тренировочного варианта ЕГЭ.
• Акцент на сложных и нестандартных задачах.
• Обзор курсов и челленджей для подготовки.
• Рекомендации по эффективной подготовке за оставшиеся 2 месяца.

Общая характеристика варианта

• Первая часть: В целом стандартная, но содержит несколько коварных заданий (№1, 6, 7, 15).
• Вторая часть:
  • №13 (тригонометрия): Необычно большой промежуток (до 7π).
  • №16 (экономика): Стандартная ("баянная") задача с изменёнными числами.
  • №17 (параметр): Нестандартная, требует глубокого понимания монотонности функций.
  • №19 (теория чисел): Простая, известная задача.
  • Геометрия (планиметрия и стереометрия): Задачи уровня сложных заданий ОГЭ.

Разбор ключевых заданий первой части

Задание №1 (Геометрия)

Условие: Из точки A к окружности проведена касательная. Через центр O проведена прямая, пересекающая окружность в точках B и C. ∠BAC = 34°. Найти ∠ACM.
Решение:

1. Радиус OM, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной AM → ∠AMO = 90°.
2. В треугольнике AMO: ∠AOM = 90° - 34° = 56°.
3. ∠AOM — центральный, ∠ACM — вписанный, опирающийся на ту же дугу → ∠ACM = ∠AOM / 2 = 28°.
   Идея: Использовать свойство касательной и связь центрального и вписанного углов.

Задание №3 (Стереометрия)

Условие: Объём прямоугольного параллелепипеда 7,2. Найти объём треугольной пирамиды, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через вершину и середины рёбер.
Решение:

1. От параллелепипеда отрезаются 4 одинаковые треугольные пирамиды.
2. Объём одной такой пирамиды: V₁ = (1/3) * (Sосн/2) * H = (1/6) * Sосн * H.
3. Объём параллелепипеда: Vпар = Sосн * H.
4. Объём оставшейся фигуры: V = Vпар - 4*V₁ = Sосн*H - 4*(1/6)*Sосн*H = (1/3)*Sосн*H.
5. V = 7,2 / 3 = 2,4.
   Идея: Увидеть, что отрезаемые пирамиды составляют 2/3 от общего объёма.

Задание №6 (Уравнение)

Условие: log₂(x+3) = log₂ x + 1.
Решение:

1. Представить 1 как log₂ 2.
2. Применить формулу суммы логарифмов: log₂(x+3) = log₂(2x).
3. Отбросить логарифмы (с учётом ОДЗ): x + 3 = 2x.
4. x = 3 (удовлетворяет ОДЗ: x > 0).
   Важно: Не забывать про область допустимых значений (ОДЗ).

Задание №7 (Тригонометрия)

Условие: Вычислить (9cos 960°) / (sin²18° + cos²198°).
Решение:

1. cos 960° = cos(960° - 2*360°) = cos 240° = -1/2.
2. cos 198° = cos(180° + 18°) = -cos 18°. Квадрат убирает минус: cos²198° = cos²18°.
3. Знаменатель: sin²18° + cos²18° = 1 (основное тригонометрическое тождество).
4. Итог: (9 * (-1/2)) / 1 = -4,5.
   Идея: Использовать периодичность, формулы приведения и основное тождество.

Разбор сложных заданий второй части

Задание №13 (Тригонометрия)

Условие: Решить уравнение sin x - √2 cos(π/2 - x/2) = 0 на отрезке [4π; 7π].
Основные методы решения:

1. Стандартный: Применить формулу приведения и двойного угла, разложить на множители.
2. Замена: x = 2t. Уравнение упрощается до sin 2t - √2 sin t = 0. Промежуток для t станет [2π; 3,5π], что привычнее.
3. Через две окружности: Из-за большого промежутка (больше 2π) удобно изобразить две тригонометрические окружности.
4. Через двойные неравенства: Подставить общую серию решений в неравенство 4π ≤ x ≤ 7π и найти целые k.

Задание №15 (Неравенство)

Условие: (log₂ 27 / log₂ x) - (81) ≤ 1 - (1/(4 - log₃ x)) * (log₅ 9 / log₅ x).
Ключевая идея: Перейти к основанию 3 во всех логарифмах с помощью формулы перехода: log_a b = log_c b / log_c a.
Решение (схема):

1. Перейти к основанию 3: (log₃ 27 / log₃ x) - (81) ≤ ....
2. Упростить, используя свойства логарифмов: log₃ 27 = 3, log₃ 81 = 4, log₃ 9 = 2.
3. Ввести замену t = log₃ x.
4. Привести неравенство к виду 3/(t-4) ≤ 1 + 2/((t-4)(t-3)), решить его.
5. Учесть ОДЗ: x > 0, x ≠ 1.
   Ответ: x ∈ (0; 27) ∪ (27; 81).

Задание №16 (Экономика)

Условие: Стандартная задача на кредит с дифференцированными платежами. Известны суммы выплат для сроков 2 и 4 года. Найти процентную ставку.
Идея: Построить математическую модель.

1. Пусть S — сумма кредита, K = 1 + r/100.
2. Для двух лет: S*K² - A*(K + 1) = 0.
3. Для четырёх лет: S*K⁴ - B*(K³ + K² + K + 1) = 0.
4. Исключить S, выразить K², а затем r.
   Ответ: r = 20%.

Задание №17 (Параметр)

Условие: Найти все a, при которых уравнение y³ + ay² + (2a+9)y = √27 * x задаёт график функции y = f(x) для всех действительных x.
Ключевая идея: Уравнение должно задавать взаимно-однозначное соответствие (one-to-one). Это означает, что функция g(y) = y³ + ay² + (2a+9)y должна быть монотонной.
Решение:

1. Рассмотреть функцию g(y). Её производная: g'(y) = 3y² + 2ay + (2a+9).
2. Для монотонности производная должна сохранять знак. Так как это парабола с ветвями вверх, условие g'(y) ≥ 0 для всех y выполняется, если парабола не уходит ниже оси OX.
3. Условие: Дискриминант производной D ≤ 0.
4. D = 4a² - 12*(2a+9) = 4a² - 24a - 108 ≤ 0.
5. Решив квадратное неравенство, получаем: a ∈ [-3; 9].

Задание №19 (Теория чисел)

Условие: Игра Юры и Полины с произведениями чисел.
Пункт А: Может ли результат Юры быть в 2 раза больше?
* Да. Пример: Полина берёт числа от 25 до 49. Юра — числа от 26 до 50. После сокращения общих множителей останется 50/25 = 2.
Пункт Б: Может ли результат Юры быть в 5 раз больше?
* Нет. Максимальное отношение достигается, когда Полина берёт все числа от 25 до 75. В этом случае отношение равно 76/25 ≈ 3,04, что меньше 5.
* Обоснование: Каждое новое число, которое добавляет Полина, увеличивает общее отношение. Поэтому наибольшее отношение — при максимальном количестве чисел.

Геометрия (№17 и №14)

Планиметрия (№17)

Пункт А (доказательство подобия):

1. Четырёхугольник KMBC вписанный → ∠C + ∠KMB = 180°. Так как ∠C = 90°, то ∠KMB = 90°.
2. ∠KMA = ∠KMB = 90°.
3. В треугольниках AKM и ABC: угол A — общий, ∠M = ∠C = 90° → треугольники подобны.
   Пункт Б (нахождение площади):
4. Провести диаметр `