Решение уравнения √(a) - √(a + x) = x

Метод замены переменной

Введём новую переменную y = √(a + x). Тогда исходное уравнение √(a) - √(a + x) = x преобразуется в систему:

√(a) - y = x
a + x = y²

Возведя первое уравнение системы в квадрат, получаем a = x² + y². Вычитая из второго уравнения первое, приходим к уравнению:
x² - y² + x + y = 0

Разложив на множители, получаем:
(x + y)(x - y + 1) = 0

Это даёт две возможности для дальнейшего решения.

Случай 1: x + y = 0

Подставляя y = -x в уравнение a + x = y², получаем квадратное уравнение:
x² - x - a = 0

Его решение: x = (1 ± √(1 + 4a)) / 2.

Ограничения: Поскольку в исходном уравнении присутствуют квадратные корни, должны выполняться условия x ≥ 0 и a ≥ 0. С учётом этого, решение со знаком "минус" отбрасывается. Окончательный вид:
x = 1/2 + √(a + 1/4)

Случай 2: x - y + 1 = 0

Подставляя y = x + 1 в уравнение a + x = y², получаем квадратное уравнение:
x² + x - a - 1 = 0

Его решение: x = (-1 ± √(4a - 3)) / 2.

Ограничения: Условие x ≥ 0 приводит к требованию a ≥ 1. Окончательный вид решения:
x = -1/2 + √(a - 3/4)

Метод решения относительно параметра

Исходное уравнение можно решить, рассматривая его как квадратное относительно параметра a. После возведения в квадрат и преобразований уравнение принимает вид:
a² - (2x² + 1)a + (x⁴ - x) = 0

Решая это квадратное уравнение относительно a, получаем два выражения:

a = x² + x + 1
a = x² - x

Эти соотношения эквивалентны уравнениям, полученным в первом методе: x² + x - a + 1 = 0 и x² - x - a = 0.

Данный метод позволяет получить те же самые условия на решения, но через явную зависимость параметра a от переменной x.

Ключевые выводы

Уравнение √(a) - √(a + x) = x имеет два семейства решений, зависящих от параметра a.
Первое решение x = 1/2 + √(a + 1/4) существует при a ≥ 0.
Второе решение x = -1/2 + √(a - 3/4) существует при более строгом условии a ≥ 1.
Задача может быть решена как классической заменой переменной, так и нестандартным подходом — рассмотрением уравнения как квадратного относительно параметра.