Ваш конспект

Разбор демоверсии ВПР по математике (углублённый уровень, 8 класс)

Ключевые тезисы:

• Всего за работу можно получить 22 первичных балла.
• Первая часть (10 заданий) оценивается в 1 балл каждое, вторая часть (6 заданий) — в 2 балла.
• Для получения «3» достаточно решить только первую часть (10 баллов).
• Для «4» нужно решить первую часть без ошибок и хотя бы одно задание из второй части.
• Для «5» необходимо решить все задания или почти все (кроме самых сложных по геометрии).
• На первую и вторую часть отводится по 45 минут (иногда их пишут в разные дни).

Структура и общие рекомендации

Справочные материалы: предоставляется только таблица квадратов двузначных чисел (до 99).

Стратегия решения:

• В первой части важно работать быстро и аккуратно.
• Во второй части ключ к успеху — решить хотя бы 4 из 6 заданий (кроме геометрических).
• Всегда внимательно читайте, что именно нужно найти в ответе.

Разбор заданий первой части (1-10)

Задание 1: Упрощение выражения с корнями

• Дано: √32 * √6 / √12
• Решение: Занести всё под один корень: √((32 * 6) / 12). После сокращения получаем √16 = 4.
• Ответ: 4.

Задание 2: Решение квадратного уравнения

• Дано: x² - 5x - 36 = 0
• Решение: Привести к стандартному виду. Решить через дискриминант: D = 169, √D = 13. Корни: x₁ = 9, x₂ = -4.
• Ответ: -4; 9.

Задание 3: Теоретическое утверждение по геометрии

• Нужно выбрать единственное верное утверждение из четырёх.
• Правильный ответ: «Любой параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником».
• Важно: знать точные формулировки теорем о свойствах параллелограммов, ромбов, квадратов, трапеций.

Задание 4: Отметка числа на числовой прямой

• Дано: три условия: x - a > 0, x - b < 0, a²x > 0.
• Анализ: Из условий следует: x > a, x < b, x > 0 (так как a² > 0). Число a — отрицательное.
• Вывод: x лежит между 0 и b.
• Ответ: отметить x в промежутке (0, b).

Задание 5: Геометрия (ромб)

• Дано: В ромбе KLMN диагонали пересекаются в точке T. Из T опущен перпендикуляр TH на сторону KN. ∠LTH = 153°. Найти тупой угол ромба.
• Решение:
  1. Диагонали ромба перпендикулярны ⇒ ∠LTK = 90°.
  2. ∠KTH = 153° - 90° = 63°.
  3. В ΔKTH: ∠HKT = 90° - 63° = 27°.
  4. Диагональ ромба — биссектриса ⇒ ∠LKN = 2 * 27° = 54°.
  5. Смежный угол в ромбе: 180° - 54° = 126°.
• Ответ: 126°.

Задание 6: Линейная функция по графику

• Дано: график прямой.
• Решение: Линейная функция имеет вид y = kx + b.
  1. b — точка пересечения с осью Oy (на графике: -1).
  2. k находим через тангенс угла наклона или подстановкой точки.
     Для точки (1; 1): 1 = k*1 - 1 ⇒ k = 2.
• Ответ: y = 2x - 1.

Задание 7: Упрощение дробно-рационального выражения

• Дано: (2x)/(x-4) - (2x² - 32)/(x² - 8x + 16) при x = 3.96.
• Решение:
  1. Разложить знаменатели: x² - 8x + 16 = (x-4)².
  2. Привести к общему знаменателю и упростить числитель.
  3. После сокращений получается выражение: -8/(x-4).
  4. Подставить x = 3.96: -8/(3.96 - 4) = -8/(-0.04) = 200.
• Ответ: 200.

Задание 8: Теория вероятностей (сравнение вероятностей)

• Дано: 4 события, связанные с массой пакета картофеля (~3 кг).
• Принцип: Чем шире допустимый диапазон массы, тем выше вероятность события.
• Порядок (от меньшей к большей вероятности): Б, А, С, Д.

Задание 9: Теория графов

• Дано: В графе 14 рёбер. Каждая вершина имеет степень 2 или 5. Вершин степени 2 столько же, сколько вершин степени 5.
• Решение:
  1. Сумма степеней всех вершин = 2 * (число рёбер) = 28.
  2. Пусть вершин каждой степени по x. Тогда: 2x + 5x = 28 ⇒ 7x = 28 ⇒ x = 4.
  3. Всего вершин: 4 + 4 = 8.
• Ответ: 8.

Задание 10: Точка пересечения графиков линейных функций

• Дано: два графика прямых.
• Решение:
  1. Найти уравнения обеих прямых в виде y = kx + b.
     • Для первой: используя точки (-2;1) и (-3;-3), получаем y = 4x + 9.
     • Для второй: k находим как тангенс угла наклона (3/2), затем через точку (3;1) находим b. Получаем y = 1.5x - 3.5.
  2. Приравнять уравнения для нахождения точки пересечения: 4x + 9 = 1.5x - 3.5.
  3. Решить: 2.5x = -12.5 ⇒ x = -5.
  4. Найти ординату: y = 4*(-5) + 9 = -11.
• Ответ: -11.

Разбор заданий второй части (11-16)

Задание 11: Решение линейного неравенства

• Дано: (2x+3)/5 - (4x-7)/15 > (8x-7)/3
• Решение:
  1. Умножить все части на общий знаменатель 15.
  2. Раскрыть скобки, привести подобные.
  3. Получаем: -38x > -33.
  4. Делим на -38, меняя знак неравенства: x < 33/38.
• Ответ: x ∈ (-∞; 33/38).

Задание 12: Теория вероятностей с кубиком

• Дано: Правильный кубик бросают 2 раза. Найти вероятность, что сумма очков ≥ 9.
• Решение:
  1. Всего исходов: 6 * 6 = 36.
  2. Благоприятные исходы (сумма 9, 10, 11, 12): их 10.
  3. Вероятность: 10/36 = 5/18.
• Ответ: 5/18.

Задание 13: Уравнение, сводящееся к квадратному

• Дано: (x-3)⁴ - 4(x-3)² - 5 = 0
• Решение:
  1. Замена: t = (x-3)², где t ≥ 0.
  2. Уравнение: t² - 4t - 5 = 0. Корни: t₁ = 5, t₂ = -1 (не подходит).
  3. Обратная замена: (x-3)² = 5 ⇒ x - 3 = ±√5.
• Ответ: x₁ = 3 - √5, x₂ = 3 + √5.

Задание 14: Геометрия (равнобедренный треугольник, биссектрисы) Сложное

• Дано: ΔABC (AB=BC=3, AC=2). Проведены биссектрисы AL и CM. Найти ML.
• Ход решения:
  1. Доказать, что ΔAMC = ΔALC (по стороне и двум углам) ⇒ AM = LC = x.
  2. Отсюда BM = BL = 3 - x ⇒ ΔMBL — равнобедренный.
  3. Доказать подобие ΔABC ~ ΔMBL (по углу B и пропорциональным сторонам).
  4. Из подобия следует параллельность ML || AC.
  5. Доказать, что ΔAML — равнобедренный ⇒ ML = AM = x.
  6. Из пропорции сторон в подобных треугольниках: 3/(3-x) = 2/x.
  7. Решить: 3x = 6 - 2x ⇒ 5x = 6 ⇒ x = 1.2.
• Ответ: 1.2.

Задание 15: Текстовая задача на движение

• Дано: Расстояние AB = 11 км. Из A одновременно отправились плот и моторная лодка. Лодка доплыла до B, вернулась и встретила плот в 2 км от A. Скорость течения = 3 км/ч. Найти собственную скорость лодки.
• Решение:
  1. Пусть x км/ч — собственная скорость лодки.
  2. Скорости: лодки по те