Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Однородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — это система, у которой все свободные члены равны нулю. Такие системы имеют важное теоретическое и практическое значение.
Основные свойства однородных СЛАУ
- Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, одно решение — тривиальное (когда все неизвестные равны нулю).
- Если определитель матрицы системы (квадратной) не равен нулю, система является определённой, и тривиальное решение будет единственным.
- Нетривиальные (ненулевые) решения возникают, когда определитель системы равен нулю, и система становится неопределённой.
Для того чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю.
Пример решения методом Гаусса (система 3x3)
Рассматривается система трёх уравнений с тремя неизвестными. В процессе преобразования расширенной матрицы методом Гаусса одна из строк обнуляется, что указывает на равенство определителя нулю.
- После исключения нулевой строки получается система из двух уравнений с тремя неизвестными, которая является неопределённой.
- Одна из переменных выбирается в качестве свободного параметра (например,
x₃ = t). - Остальные переменные выражаются через этот параметр:
- Из второго уравнения:
x₂ = -2t. - Из первого уравнения после подстановки:
x₁ = 3t.
- Из второго уравнения:
- Решение проверяется подстановкой в исходные уравнения.
- Общее решение записывается в виде:
(x₁, x₂, x₃) = (3t, -2t, t), гдеt ∈ R(любое действительное число).
Пример решения (система 4x4)
Для системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными преобразуется только матрица коэффициентов, так как столбец свободных членов нулевой.
- После приведения матрицы к упрощённому виду получаются две одинаковые строки, которые обнуляются вычитанием.
- Итоговая система содержит два уравнения с четырьмя неизвестными.
- В качестве свободных переменных (параметров) выбираются
x₃ = tиx₄ = s. - Остальные переменные выражаются через параметры:
- Из второго уравнения:
x₂ = 5t - 4s. - Из первого уравнения после подстановки:
x₁ = -11t + 7s.
- Из второго уравнения:
- Общее решение:
(x₁, x₂, x₃, x₄) = (-11t + 7s, 5t - 4s, t, s), гдеt, s ∈ R.
Структура общего решения
- Количество свободных параметров в общем решении равно разности между количеством неизвестных и количеством ненулевых уравнений в конечной ступенчатой системе. Эта разность равна рангу матрицы системы.
- В первом примере: 3 неизвестных - 2 уравнения = 1 параметр.
- Во втором примере: 4 неизвестных - 2 уравнения = 2 параметра.
- В матричной записи вектор-столбец решений представляется в виде линейной комбинации базисных векторов, количество которых равно количеству свободных параметров. Коэффициентами этой комбинации служат сами параметры.