Уравнение прямой с угловым коэффициентом

В аналитической геометрии для описания прямой на плоскости часто используется уравнение, связывающее координаты точки с углом наклона прямой.

Угол наклона и угловой коэффициент

Углом наклона прямой к оси Ox называется наименьший угол α, на который нужно повернуть ось Ox против часовой стрелки, чтобы её положительное направление совпало с направлением прямой. Угол α изменяется в пределах от 0 до π.

Угловой коэффициент прямой — это величина K, равная тангенсу угла наклона: K = tg α. Он определён для любой прямой, кроме вертикальной (перпендикулярной оси Ox), так как tg(π/2) не существует.

Вывод уравнения прямой

Если прямая пересекает ось Oy в точке с ординатой b, а на прямой взята произвольная точка M(x, y), из соотношения в прямоугольном треугольнике можно получить:
Y - b / X = tg α = K

Выражая y из этого равенства, получаем ключевое уравнение:

Y = KX + b

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где K — угловой коэффициент, а b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Частные случаи уравнения

Если K = 0, то прямая параллельна оси Ox и её уравнение упрощается до Y = b.
Если при этом b = 0, прямая проходит через начало координат: Y = KX.

Уравнение пучка прямых

Через данную точку M₁(x₁, y₁) можно провести бесконечное множество прямых (пучок). Уравнение любой такой прямой (кроме вертикальной) можно записать, зная её угловой коэффициент K:

Y - y₁ = K(X - x₁)

Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом (уравнение пучка).

Для вертикальной прямой, проходящей через точку x₁, угловой коэффициент не определён, а уравнение имеет вид X = x₁.

Пример решения задачи

Задача: Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1) и составляющей с осью Ox угол 3π/4.

Находим угловой коэффициент: K = tg(3π/4) = -1.
Подставляем K, x₁=2, y₁=-1 в уравнение пучка: Y - (-1) = -1 * (X - 2).
После преобразований получаем искомое уравнение: Y = -X + 1.