Финальный челлендж по планиметрии
Ключевые тезисы:
- Разбор комплексной задачи ЕГЭ, объединяющей важные теоремы и приёмы.
Использование свойств равнобедренного треугольника и теоремы о биссектрисе.- Задача состоит из двух пунктов: доказательство равенства отрезков и нахождение отношения.
Условие задачи
В треугольнике ABC известны стороны: AB = 12, AC = 16, BC = 7.
- Проведена биссектриса AL.
- К биссектрисе AL из вершины B проведён перпендикуляр BN.
- Проведена биссектриса CT в треугольнике BCN.
- Требуется доказать, что точка T делит отрезок NM пополам (NT = TM).
Анализ и доказательство (Пункт А)
Шаг 1: Поиск равнобедренного треугольника
- В треугольнике ABN биссектриса AL также является высотой (по условию, AL ⟂ BN).
- Если в треугольнике биссектриса является высотой, то треугольник равнобедренный.
- Следовательно, AN = AB = 12.
Шаг 2: Нахождение отрезков
- AC = AN + NC → 16 = 12 + NC → NC = 4.
Шаг 3: Применение теоремы о биссектрисе
- В треугольнике ABC проведена биссектриса AL.
- Теорема о биссектрисе: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
- Отношение: BL : LC = AB : AC = 12 : 16 = 3 : 4.
- Пусть BL = 3x, LC = 4x. Их сумма равна BC = 7 → 7x = 7 → x = 1.
- Получаем: BL = 3, LC = 4.
Шаг 4: Вывод для пункта А
- В треугольнике BCN: BC = 7, NC = 4.
- Проведена биссектриса CT. По теореме о биссектрисе: BT : TN = BC : NC = 7 : 4.
- Однако, для решения задачи важно, что в треугольнике CMN (который отсекается) стороны MC и NC равны 4.
- Следовательно, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса CT является также медианой. Доказано, что NT = TM.
Нахождение отношения (Пункт Б)
Условие: Биссектрису CT продлили до пересечения с прямой AL в точке P. Требуется найти отношение AP : PN.
Шаг 1: Упрощение задачи
- В треугольнике MPN отрезок PT является высотой (так как AL ⟂ BN) и медианой (так как NT = TM).
- Следовательно, треугольник MPN равнобедренный, и PN = PM.
Шаг 2: Переформулировка
- Теперь нужно найти отношение AP : PM, то есть понять, как биссектриса CP делит биссектрису AL в треугольнике ACL.
Шаг 3: Применение теоремы о биссектрисе (вторично)
- В треугольнике ACL известны стороны: AC = 16, LC = 4.
- Проведена биссектриса CP.
- По теореме о биссектрисе: AP : PL = AC : LC = 16 : 4 = 4 : 1.
- Так как PN = PM = PL, то искомое отношение AP : PN = 4 : 1.
Выводы
Задача мастерски сочетает свойства равнобедренных треугольников и теорему о биссектрисе.- Ключевой приём — переосмысление условия и поиск равных отрезков для упрощения вычислений.
Для успеха на ЕГЭ необходимо уверенное владение базовыми теоремами планиметрии и умение видеть на чертеже знакомые конструкции.