Конспект

YouTubeАлгебраические неравенства: свойства и методы

Алгебраические неравенства

Неравенства, содержащие переменную, могут иметь одну из четырёх форм: строгие (a(x) > b(x) или a(x) < b(x)) или нестрогие (a(x) ≥ b(x) или a(x) ≤ b(x)). Решение неравенства — это нахождение всех значений переменной, при которых числовое неравенство становится верным.

Свойства числовых неравенств

Свойства похожи на свойства уравнений, но с важными оговорками:

  • Если a < b, то a + c < b + c (можно прибавлять одно и то же число к обеим частям).
  • Если a > b и c > 0, то ac > bc (можно умножать на положительное число).
  • Важно: При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
  • Особое внимание требуется при возведении в квадрат. Если обе части положительны, знак сохраняется. Однако если одна из частей отрицательна, результат может быть неверным (например, 2 > -3, но 4 > 9 — ложно).

Будьте пожалуйста внимательно, когда неравенство имеют вот такие вот знаки.

Метод интервалов

Этот метод применяется для решения рациональных неравенств (отношений многочленов), например, P(x)/Q(x) ≤ 0.

  1. Все многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители.
  2. Найти точки, в которых каждый множитель обращается в ноль (корни числителя и знаменателя). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.
  3. Определить знак всего выражения на каждом интервале, подставляя пробную точку.
  4. Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства, учитывая строгость и то, что корни знаменателя никогда не входят в ответ.

Пример решения:
Для неравенства (x - 1)(2x + 3) / (x²(2 - x)) ≤ 0 ключевые точки: x = -3/2, x = 0, x = 1, x = 2.

  • Интервалы знакопостоянства: (-∞; -3/2), (-3/2; 0), (0; 1), (1; 2), (2; +∞).
  • Учитывая нестрогое неравенство, корни числителя (x = 1 и x = -3/2) включаются в ответ, а корни знаменателя (x = 0 и x = 2) — нет.
  • Отрицательное значение выражение принимает на интервалах (-3/2; 0) и (1; 2).

Ответ: x ∈ [-3/2; 0) ∪ [1; 2).

Решение квадратных неравенств

Рассматривается неравенство вида ax² + bx + c > 0 (при a > 0). Знак квадратного трёхчлена зависит от дискриминанта D.

  • D < 0: График параболы целиком выше оси OX. Решение: x ∈ (-∞; +∞) (все действительные числа).
  • D = 0: Парабола касается оси OX в одной точке x₁. Решение: x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₁; +∞) (все числа, кроме корня). Если неравенство нестрогое (≥ 0), корень x₁ включается.
  • D > 0: Уравнение имеет два корня x₁ и x₂ (x₁ < x₂). Парабола выше оси OX вне отрезка между корнями. Решение: x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).