Конспект

Пропозиции и логические связки

Ключевые тезисы

• Пропозиция — это декларативное утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.
• Пропозиции обозначаются строчными буквами (p, q, r, s).
• Логические связки (коннекторы) — это операторы, которые соединяют пропозиции, образуя составные утверждения.
• Таблицы истинности используются для систематического определения истинности составных утверждений при всех возможных значениях входящих в них пропозиций.

Что такое пропозиция?

Пропозиция — это декларативное утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Примеры пропозиций:

• Небо голубое (p, истина).
• Луна сделана из сыра (q, ложь).
• Люк, я твой отец (r, ложь).

Что НЕ является пропозицией:

• Повелительные предложения: "Сядь" — это команда, а не утверждение, которое можно оценить как истинное или ложное.
• Утверждения с переменными: "x + 1 = 2" не является пропозицией, пока переменной x не присвоено конкретное значение. При x = 1 утверждение истинно, при x = 5 — ложно.

Основные логические связки

Связки — это операторы для объединения пропозиций.

1. Отрицание (Negation): ¬p (читается "не p").
2. Конъюнкция (Conjunction): p ∧ q (читается "p и q").
3. Дизъюнкция (Disjunction): p ∨ q (читается "p или q").
4. Импликация (Implication): p → q (читается "если p, то q").
5. Бикондиционал (Biconditional): p ↔ q (читается "p тогда и только тогда, когда q").

Отрицание (¬)

Отрицание пропозиции p — это утверждение "не p".

Пример:

• p: "Моя собака — самая милая". (Истина)
• ¬p: "Моя собака — не самая милая". (Ложь)

Таблица истинности для отрицания:

Построение таблиц истинности

Таблица истинности состоит из двух частей:

1. Левая часть: Все возможные комбинации истинностных значений для исходных пропозиций.
2. Правая часть: Результирующее значение для составного утверждения с учётом связки.

Количество строк: Для n пропозиций существует 2ⁿ строк (комбинаций). Для одной пропозиции — 2 строки, для двух — 4 строки.

Правильный порядок строк для двух пропозиций (p и q):

Конъюнкция (∧, "И")

Конъюнкция p ∧ q истинна только тогда, когда обе пропозиции p и q истинны.

Пример:

• p: "Идёт дождь".
• q: "Я дома".
• p ∧ q истинно, только если идёт дождь И я дома.

Таблица истинности для конъюнкции:

Дизъюнкция (∨, "ИЛИ")

Дизъюнкция p ∨ q истинна, если истинна хотя бы одна из пропозиций (p или q, или обе).

Пример с таблицей истинности:

Важное уточнение: Исключающее "ИЛИ" (XOR)
В математике обычно используется включающее "ИЛИ" (inclusive OR), которое допускает истинность обоих утверждений.
Исключающее "ИЛИ" (exclusive OR, ⊕) истинно, когда истинно ровно одно из утверждений, но не оба сразу.

Пример XOR: "К обеду подаётся суп ИЛИ салат" (обычно подразумевает выбор одного).

Таблица истинности для XOR (p ⊕ q):

Выводы

• Пропозиция — базовый элемент логики, утверждение с чётким значением истинности.
• Отрицание меняет истинность на противоположную.
• Конъюнкция (И) требует истинности всех частей.
• Дизъюнкция (ИЛИ) требует истинности хотя бы одной части.
• Таблицы истинности — строгий инструмент для анализа сложных логических выражений.