Решение ВПР по математике (10 класс)
Ключевые тезисы
- Решение задач из первой и второй части ВПР
- Разбор типовых заданий: проценты, прогрессии, геометрия, вероятность
- Использование формул и логических подходов для оптимизации решения
- Особое внимание к тригонометрии и стереометрии
Основное содержание
Задачи на проценты и вычисления
- Проценты: Если цена поднялась сначала на 20%, затем на 30%, итоговое повышение составляет 56% (1.2 × 1.3 = 1.56)
- Степени: Использование свойств степеней для упрощения выражений
- Тригонометрия: sin(420°) = sin(60°) = √3/2 (убираем целый оборот 360°)
- Прогрессии: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2
Геометрия и алгебра
- Параллелограмм: Если один угол больше другого на 40°, углы равны 70°, 70°, 110°, 110° (сумма соседних углов 180°)
- Парабола: По точкам (1,2), (4,-1) и вершине (3,-2) найдено уравнение f(x) = x² - 6x + 7
- Уравнение параболы: Можно решить через смещение (x-3)² - 2 = x² - 6x + 7
Теория вероятности
- Вероятность: Для 21 участника (7 из школы №3) вероятность, что первая и последняя пара из школы №3: (7/21) × (6/20) = 1/10
- Кружки: 12 математиков, 22 программистов, 11 посещают оба → всего 23 ученика (12-11=1 только математика, 22-11=11 только программирование)
- Игральный кубик: Вероятность, что при сумме 5-9 очков выпадет одинаковое число в обоих бросках = 2/24 = 1/12
Тригонометрия (углы и формулы)
- Тангенс двойного угла: Если sin α = √17/9 и α ∈ (-π, -π/2), то:
- cos α = -8/9 (угол в третьей четверти)
- tg α = √17/8
- tg 2α = (2 × √17/8) / (1 - 17/64) = (√17 × 16) / 47
Геометрия (подобие и площади)
- Подобие треугольников: AM = 7, MB = 10, AN = 5, NC = 9
- Площадь ΔABC = 68
- Площадь ΔAMN найдена через синус угла A: S = 10
Стереометрия (пирамида и призма)
- Пирамида: В правильной треугольной пирамиде перпендикулярные прямые:
- NP и SM (NP — средняя линия, параллельна BC, SM перпендикулярна BC по ТТП)
- SA и OC (SA перпендикулярна всей плоскости основания)
- NP и AO (AO перпендикулярна BC, NP параллельна BC)
- Призма: Прямая призма с прямоугольным основанием (AC=3, AB=4, AA₁=9)
- Угол между плоскостями ABC и A₁BC найден через перпендикуляры
- AE = 12/5 (перпендикуляр к гипотенузе в основании)
- tg угла = AA₁ / AE = 9 ÷ (12/5) = 45/12 = 15/4
- Угол = arctg(15/4)
Уравнения и неравенства
- Тригонометрическое уравнение: 2sin²x + 3√2 sinx + 2 = 0
- sinx = -√2/2
- Корни: x = 5π/4 + 2πn, x = 7π/4 + 2πn
- На отрезке [8,13]: x = 13π/4, x = 15π/4
- Неравенство: (x+1)² / (x²+4x-5) ≥ 0
- После сокращения: (x+1)/(x-5) ≥ 0
- x ≠ -1 (выколота)
- Решение: x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, +∞)
- Функция с модулем: f(x) = |3 - 9/(x+5)|
- График имеет две ветки
- f(x) = c имеет одно решение при c = 3 и c = 0
Вероятность (передача SMS)
- Вероятность успешной передачи в каждой попытке = 0.5
- Вероятность, что потребуется не больше 4 попыток = 1 - (0.5⁴) = 1 - 0.0625 = 0.9375
Выводы
- ВПР содержит разнообразные задачи: от базовой алгебры до стереометрии
- Ключевые навыки: работа с процентами, прогрессиями, тригонометрией, геометрией и вероятностью
- Оптимизация решения через смещения, подобие и противоположные события
- Важно внимательно читать условия (особенно в задачах с неравенствами и вероятностью)
- Регулярная практика и изучение теории необходимы для успеха на экзаменах