Конспект

Определение расстояния от точки до прямой в пространстве

Для нахождения расстояния от произвольной точки до прямой, заданной каноническими уравнениями, используется геометрический подход. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Геометрическая интерпретация и вывод формулы

Пусть задана прямая с известной точкой M₀(x₀, y₀, z₀) на ней и направляющим вектором a(l, m, n), а также точка M₁(x₁, y₁, z₁). Если построить параллелограмм на векторах M₀M₁ и a, то расстояние D от точки до прямой будет равно высоте этого параллелограмма.

• Площадь параллелограмма S можно вычислить как модуль векторного произведения векторов M₀M₁ и a.
• Длина основания параллелограмма равна длине направляющего вектора a.
• Из формулы площади параллелограмма (S = основание * высота) следует, что высота D = S / |a|.

Таким образом, итоговая формула расстояния имеет вид:

D = |[M₀M₁ × a]| / |a|

Где [M₀M₁ × a] — векторное произведение.

Порядок вычислений

Для применения формулы необходимо выполнить три последовательных шага:

1. Вычислить векторное произведение вектора M₀M₁ и направляющего вектора a, раскрыв соответствующий определитель.
2. Найти длину полученного в результате векторного произведения вектора.
3. Разделить эту длину на длину направляющего вектора прямой.

Преобразование формулы к развернутому координатному виду не всегда целесообразно, так как это приводит к громоздким выражениям, сложным для запоминания.

Пример решения

Дано: Точка M₁(7, 3, 2) и прямая: (x - 1)/-1 = (y - 5)/2 = (z - 0)/-2.

Решение:

1. Из уравнений прямой: точка на прямой M₀(1, 5, 0), направляющий вектор a(-1, 2, -2).
2. Находим вектор M₀M₁ = (7-1, 3-5, 2-0) = (6, -2, 2).
3. Вычисляем векторное произведение [M₀M₁ × a]:
   Результат: 2i + 11j + 10k или (2, 11, 10).
4. Находим длину этого вектора: √(2² + 11² + 10²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.
5. Находим длину вектора a: √((-1)² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
6. Искомое расстояние: D = 15 / 3 = **5**.

Ответ: Расстояние от точки до прямой равно 5.