Теория вероятностей с нуля до ЕГЭ
Ключевые тезисы:
- Вероятность события — отношение благоприятных исходов ко всем возможным.
- Сумма вероятностей всех исходов в системе равна 1.
- События бывают совместные (могут произойти вместе) и несовместные (не могут произойти вместе).
- События бывают независимые (вероятность одного не влияет на другое) и зависимые (вероятность одного меняет вероятность другого).
- Для решения задач часто удобно искать вероятность противоположного события.
Классическое определение вероятности
Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов (m) к общему числу всех возможных равновероятных исходов (n).
Формула: P = m / n
Свойства:
- Вероятность всегда лежит в диапазоне от 0 до 1.
- Если m = n (все исходы благоприятны), вероятность равна 1 (событие достоверное).
Вероятность противоположного события
Если событие имеет только два исхода (A и «не A»), то их суммарная вероятность равна 1.
Формула: P(не A) = 1 – P(A)
Примеры задач:
- Из 600 насосов 18 подтекают. Вероятность, что случайный насос не подтекает, равна: 1 – (18/600) = 0.97.
- Фабрика выпускает сумки. 72 из 2000 с дефектом. Вероятность, что сумка без дефекта: 1 – (72/2000) = 0.964.
Простые задачи на прямое применение формулы
- Порядок выбора: В группе 10 туристов, вертолёт забирает по 2 человека за рейс. Вероятность, что конкретный турист полетит первым рейсом: 2/10 = 0.2.
- Случайный выбор: В сборнике 32 билета, в 4 есть вопрос о ВОВ. Вероятность вытянуть такой билет: 4/32 = 0.125.
- Бросание монетки: Два броска. Вероятность, что решка выпадет ровно один раз. Исходы: ОР, РО, ОО, РР. Благоприятных исходов: 2. Вероятность: 2/4 = 0.5.
- Жребий: Из 10 человек жребием выбирают 4 для похода в магазин. Вероятность, что конкретный человек будет выбран: 4/10 = 0.4.
- Несколько независимых испытаний: Команда играет 3 матча. Вероятность ни разу не выиграть жребий (подбрасывание монетки). Всего исходов при 3 бросках: 2³ = 8. Благоприятный исход (все три проигрыша) — 1. Вероятность: 1/8 = 0.125.
Теория вероятностей (сложная часть, №5 в ЕГЭ)
Совместные и несовместные события
Совместные события — могут произойти одновременно (например, взять красный И синий маркеры за два раза).
Несовместные события — не могут произойти одновременно (например, взять красный ИЛИ синий маркер за один раз).
Правило сложения для несовместных событий:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Правило сложения для совместных событий (формула включений-исключений):
P(A или B) = P(A) + P(B) – P(A и B)
Зависимые и независимые события
Независимые события — наступление одного не влияет на вероятность другого.
Зависимые события — наступление одного влияет на вероятность другого.
Умножение вероятностей:
- Для независимых событий: P(A и B) = P(A) * P(B)
- Для зависимых событий: P(A и B) = P(A) * P(B|A), где P(B|A) — вероятность B при условии, что A уже произошло.
Пример с кубиком (зависимые события):
Брошен один кубик. Найти вероятность, что выпавшее число меньше 4 И чётное.
- P(меньше 4) = 3/6 = 1/2.
- При условии, что число меньше 4 (т.е. 1, 2, 3), вероятность, что оно чётное (только 2): P(чётное | меньше 4) = 1/3.
- Итог: P = (1/2) * (1/3) = 1/6.
Пример с кубиком (совместные события):
Брошен кубик. Найти вероятность, что число меньше 4 ИЛИ чётное.
- P(меньше 4) = 3/6
- P(чётное) = 3/6
- P(меньше 4 И чётное) = 1/6 (из предыдущего примера)
- Итог по формуле: P = 3/6 + 3/6 – 1/6 = 5/6.
Разбор ключевых типов задач
Задача про бабку (независимые события)
Вероятность ослепнуть для каждого глаза = 0.2 (вероятность видеть = 0.8). Глаза слепнут независимо.
Найти: Вероятность, что бабка будет хоть что-то видеть.
Решение через противоположное событие:
- Вероятность, что оба глаза ослепнут: 0.2 * 0.2 = 0.04.
- Вероятность, что хоть один видит: 1 – 0.04 = 0.96.
Задача про стрелка (независимые события)
Вероятность попадания = 0.1, промаха = 0.9. 4 выстрела.
Найти: Вероятность, что первые три попадёт, а четвёртый промахнётся.
Решение: 0.1 * 0.1 * 0.1 * 0.9 = 0.0009.
Задача с пассажирами (несовместные события)
Дано: P(пассажиров < 14) = 0.7; P(пассажиров < 6) = 0.64.
Найти: P(пассажиров от 6 до 13 включительно).
Логика: Событие «меньше 14» можно разбить на два несовместных: «меньше 6» И «от 6 до 13».
Решение: P(от 6 до 13) = P(<14) – P(<6) = 0.7 – 0.64 = 0.06.
Задача с лампами (независимые события + противоположное)
3 лампы. Вероятность перегорания каждой = 0.1.
Найти: Вероятность, что в течение года хотя бы одна не перегорит.
Решение через противоположное:
- Вероятность, что все три перегорят: 0.1 * 0.1 * 0.1 = 0.001.
- Вероятность, что хотя бы одна не перегорит: 1 – 0.001 = 0.999.
Задача с батарейками (сумма несовместных исходов)
Вероятность, что батарейка исправна = 0.12 (неисправна = 0.88).
Система контроля бракует неисправную с вероятностью 0.81, а исправную (ошибочно) с вероятностью 0.04.
Найти: Вероятность, что случайная батарейка будет забракована.
Решение:
Батарейка будет забракована в двух несовместных случаях:
- Она неисправна И её забраковали: 0.88 * 0.81 = 0.7128
- Она исправна, но её забраковали (ошибка): 0.12 * 0.04 = 0.0048
Итог: P = 0.7128 + 0.0048 = 0.7176.
Задача с фломастерами (зависимые события + порядок)
В коробке 5 синих, 15 красных, 5 зелёных фломастеров (всего 25). Наугад берут 2.
Найти: Вероятность, что выберут один синий и один красный.
Решение:
Нужно учесть оба порядка извлечения (синий-красный и красный-синий), так как события зависимые (после первого выбора общее количество уменьшается).
- P(сначала синий, потом красный) = (5/25) * (15/24) = (1/5)*(5/8) = 1/8
- P(сначала красный, потом синий) = (15/25) * (5/24) = (3/5)*(5/24) = 1/8
Итог: P = 1/8 + 1/8 = 1/4 = 0.25.
Задача с кофейными автоматами (особая логика)
Дано: P(кофе закончится в 1-м автомате) = 0.34. P(во 2-м автомате) = 0.34. P(закончится в обоих) = 0.29.
Найти: P(кофе останется в обоих автоматах).
Особенность: Событие «закончится в 1-м автомате» включает исходы: «только в 1-м» И «в обоих».
- P(только в 1-м) = 0.34 – 0.29 = 0.05
- P(только во 2-м) = 0.34 – 0.29 = 0.05