Конспект

YouTubeСамые популярные уравнения в задании №20 ОГЭ по математике, которые выпадают каждый год!

🎯 Три популярных уравнения из ОГЭ (задание №20)

Ключевые тезисы

  • В уравнении с корнем обязательно нужно находить и проверять область допустимых значений (ОДЗ), чтобы не получить посторонний корень.
  • Нельзя сокращать общий множитель в уравнении, содержащем переменную, — это приводит к потере корней.
  • Решение уравнений часто упрощается, если увидеть общий множитель (метод группировки) или формулу сокращённого умножения.

Уравнение 1: Скрытая ловушка в ОДЗ

Уравнение: x² - 3x + √(5 - x) = √(5 - x) + 18

Как решать и где ловушка:

  1. Перенесите всё в одну сторону: x² - 3x + √(5 - x) - √(5 - x) - 18 = 0. Корни взаимно уничтожаются.
  2. Получается квадратное уравнение: x² - 3x - 18 = 0.
  3. Решаем (например, через дискриминант): D = (-3)² - 4*1*(-18) = 81. Корни: x₁ = 6, x₂ = -3.

⚠️ Критический шаг — проверка ОДЗ:

  • Подкоренное выражение должно быть ≥ 0: 5 - x ≥ 0 → x ≤ 5.
  • Корень x₁ = 6 не удовлетворяет ОДЗ (6 > 5). При подстановке получается √(-1), что не имеет смысла.
  • Ответ: x = -3.

Совет: ОДЗ можно записать в начале решения или сделать проверку найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Уравнение 2: Опасность сокращения

Уравнение: x³ + 3x² = 4x + 12

Правильное решение:

  1. Перенести всё влево: x³ + 3x² - 4x - 12 = 0.
  2. Применить метод группировки: x²(x + 3) - 4(x + 3) = 0.
  3. Вынести общий множитель (x + 3) за скобку: (x + 3)(x² - 4) = 0.
  4. Произведение равно нулю, когда любой множитель равен нулю:
    • x + 3 = 0 → x = -3
    • x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2

❌ Распространённая ошибка:
Нельзя сокращать (x + 3) на этапе x²(x+3) = 4(x+3). Это приведёт к потере корня x = -3.

Ответ: x = -3; x = 2; x = -2.

Уравнение 3: Формула и группировка

Уравнение: (x - 2)(x² + 2x + 1) = 4(x + 1)

Правильное решение:

  1. Заметить формулу сокращённого умножения: x² + 2x + 1 = (x + 1)².
  2. Переписать уравнение: (x - 2)(x + 1)² = 4(x + 1).
  3. Не сокращаем (x + 1)! Переносим всё влево: (x - 2)(x + 1)² - 4(x + 1) = 0.
  4. Выносим общий множитель (x + 1) за скобку: (x + 1)[(x - 2)(x + 1) - 4] = 0.
  5. Упрощаем выражение во второй скобке: (x - 2)(x + 1) - 4 = x² - x - 2 - 4 = x² - x - 6.
  6. Решаем: (x + 1)(x² - x - 6) = 0.
    • x + 1 = 0 → x = -1
    • x² - x - 6 = 0 → D = 25 → x = 3; x = -2

Ответ: x = -1; x = 3; x = -2.

Выводы
Для успешного решения этих типовых уравнений необходимо:

  1. Всегда помнить об ОДЗ в уравнениях с корнями.
  2. Избегать сокращения на выражение с переменной, чтобы не терять корни.
  3. Активно использовать метод группировки и формулы сокращённого умножения для упрощения.