Определение и свойство параболы
Парабола — это множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). Если обозначить расстояние от точки параболы до фокуса как D1, а до директрисы как D2, то ключевое свойство записывается как D1 = D2. Расстояние D1 также называют фокальным радиусом.
Вывод канонического уравнения
Для вывода уравнения вводится прямоугольная система координат:
- Ось абсцисс (OX) проходит через фокус перпендикулярно директрисе.
- Начало координат (точка O) лежит посередине между фокусом и директрисой.
- Если абсцисса фокуса F равна p, то уравнение директрисы:
x = -p/2.
Приравнивая выражения для расстояний D1 и D2 от произвольной точки параболы (X, Y) и выполняя преобразования, получаем каноническое уравнение параболы:
y² = 2px
Параметр p в уравнении определяет ширину параболы: чем больше p, тем шире область, которую она ограничивает.
Элементы и расположение параболы
Парабола симметрична относительно своей оси, которая называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с этой осью — вершина. В рассмотренном случае вершина находится в начале координат.
Вид уравнения и направление ветвей параболы зависят от взаимного расположения фокуса и директрисы:
- Ветви вправо: Фокус справа от O, директриса слева. Уравнение:
y² = 2px. - Ветви влево: Фокус слева от O, директриса справа. Уравнение:
y² = -2px. - Ветви вверх: Фокус выше O, директриса параллельна оси OX. Уравнение:
x² = 2py(переменные x и y "меняются местами"). - Ветви вниз: Фокус ниже O, директриса выше. Уравнение:
x² = -2py.
Пример решения задачи
Дано: парабола y² = 4x. Найти точку, расстояние от которой до директрисы равно 2.
Решение:
- Из уравнения
y² = 4xследует, что2p = 4, значит p = 2. - Расстояние от точки с абсциссой
xдо директрисы (x = -p/2) вычисляется какx + p/2. - По условию это расстояние равно 2:
x + 2/2 = 2→x + 1 = 2→ x = 1. - Подставляем
x = 1в уравнение параболы:y² = 4 * 1→y² = 4→ y = ±2.
Ответ: на параболе две искомые точки: M(1, 2) и N(1, -2).