Преобразование координат на плоскости

Любую новую систему координат можно получить из исходной прямоугольной с помощью двух движений: переноса начала координат и поворота осей. Эти преобразования позволяют найти, как изменятся координаты точки и уравнение линии при переходе в новую систему.

Перенос начала координат

Исходная система xOy преобразуется в новую x'O'y' путём переноса начала в точку O'(a, b), при этом направления осей сохраняются. Связь между старыми (x, y) и новыми (x', y') координатами одной точки задаётся формулами:

x = x' + a
y = y' + b

Для нахождения новых координат используются обратные формулы:

x' = x - a
y' = y - b

Пример 1: Для точки M(-1, 2) и нового начала O'(2, 3) новые координаты будут M'(-3, -1).

Пример 2: Уравнение линии x² + 4x + y² - 6y + 12 = 0 после переноса начала в точку (-2, 3) упрощается до x'² + y'² = 1. Это показывает, что в новой системе уравнение описывает окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Перенос начала координат применяется для упрощения уравнений линий, например, для приведения уравнения окружности к каноническому виду.

Поворот осей координат

Исходная система xOy преобразуется в новую x'O'y' путём поворота осей вокруг общего начала O на угол α. Формулы, связывающие координаты одной точки в разных системах:

От новых к старым:
- x = x' cos α - y' sin α
- y = x' sin α + y' cos α
От старых к новым: Эти же формулы можно разрешить относительно x' и y'.

Пример: Уравнение прямой y = x + √2 в системе, повёрнутой на 45° против часовой стрелки, преобразуется к виду y' = 1. Это означает, что в новой системе данная прямая является горизонтальной.

Поворот осей используется для упрощения уравнений, например, для исключения слагаемого с произведением координат в уравнении кривой второго порядка.