Введение в курс алгебры 4 семестра
Ключевые тезисы:
- Курс является расширенным и адаптированным для программы «Фундаментальная математика и математическая физика».
- Он охватывает фундаментальные разделы алгебры, важные для геометрии, топологии и математической физики.
- Основной источник материала — лекции, но приветствуется работа с дополнительной литературой.
Организационная информация
- Основная литература (справочная):
- Винберг Э.Б. «Курс алгебры».
- Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры».
- Ю. М. Сурдин, А. И. Кострикин «Основные структуры современной алгебры».
- Серр Ж.-П. «Алгебра».
- Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра».
- Главный источник: Материал лекций.
- Информация о курсе: Будет размещаться на странице кафедры алгебры в разделе «Обязательные курсы».
Повторение: основы теории полей
Определение и примеры полей
Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный. Поле содержит более одного элемента (0 ≠ 1).
Примеры полей:
- Числовые поля: ℚ (рациональные), ℝ (действительные), ℂ (комплексные).
- Конечные поля (поля Галуа) F_q, где q = pⁿ (степень простого числа). Например, Z_p при простом p.
Характеристика поля
Характеристика поля char(K) — это наименьшее натуральное число p такое, что p·1 = 0 в поле. Если такого числа нет, характеристика считается равной 0.
- Пример: char(ℚ) = char(ℝ) = char(ℂ) = 0; char(F_{pⁿ}) = p.
- Факт: Если характеристика поля не равна 0, то она является простым числом.
Эндоморфизм Фробениуса
Если char(K) = p (простое), то отображение φ: a → aᵖ является эндоморфизмом поля (гомоморфизмом в себя) и называется эндоморфизмом Фробениуса.
- Он всегда инъективен.
- Он сюръективен (а значит, является автоморфизмом) тогда и только тогда, когда из любого элемента поля можно извлечь корень степени p. Такие поля называются совершенными.
Все конечные поля являются совершенными.
Расширения полей
Основные понятия
Расширение полей L/K — это ситуация, когда поле K содержится в поле L.
- L можно рассматривать как векторное пространство над K.
- Степень расширения [L : K] — это размерность L как векторного пространства над K. Может быть конечной или бесконечной.
Типы расширений
- Конечно порождённое расширение: L = K(a₁, ..., aₛ) — наименьшее поле, содержащее K и элементы a₁, ..., aₛ. Элементы такого поля представляются в виде рациональных дробей от a₁, ..., aₛ.
- Простое расширение: Частный случай, порождённое одним элементом: L = K(a). Элемент a называется примитивным элементом расширения.
- Пример: ℂ = ℝ(i), где i — мнимая единица.
- Алгебраический элемент: Элемент a ∈ L называется алгебраическим над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из K.
- Минимальный многочлен: Для алгебраического элемента a — это единственный унитарный неприводимый многочлен m_a(x) ∈ K[x] наименьшей степени, корнем которого является a.
- Конечное расширение: Расширение конечной степени [L : K] < ∞.
- Алгебраическое расширение: Расширение, каждый элемент которого алгебраичен над K.
Связь между типами расширений (Теорема)
Для расширения L/K эквивалентны следующие условия:
- L/K — конечное расширение ([L : K] < ∞).
- L/K — конечно порождённое и алгебраическое расширение.
- L порождено над K конечным числом алгебраических элементов (L = K(a₁, ..., aₛ), где все aᵢ алгебраичны над K).
Следствие: Всякое конечное расширение является алгебраическим и конечно порождённым. Для конечно порождённого расширения достаточно проверить алгебраичность порождающих элементов, чтобы всё расширение было алгебраическим (и даже конечным).
Присоединение корня многочлена
Если f(x) ∈ K[x] — неприводимый многочлен, то можно построить расширение L, в котором f(x) имеет корень.
- Конструкция: L = K[x] / (f(x)) — факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порождённому f(x). Это поле является расширением K.
- Корень: Класс x + (f(x)) в этом поле является искомым корнем.
- Уникальность: Любое другое расширение с таким свойством изоморфно построенному.
Автоморфизмы расширений полей
Определение и примеры
Автоморфизм расширения L/K — это изоморфизм поля L на себя, который оставляет неподвижными все элементы меньшего поля K (т.е. σ(a) = a для всех a ∈ K).
- Множество всех таких автоморфизмов образует группу, обозначаемую Aut(L/K).
- Пример: Aut(ℂ/ℝ) состоит из двух элементов: тождественного отображения и комплексного сопряжения.
Поле инвариантов
Для подмножества H ⊆ Aut(L/K), поле инвариантов Lᴴ — это множество элементов из L, неподвижных при действии всех автоморфизмов из H:
Lᴴ = { a ∈ L | σ(a) = a для всех σ ∈ H }
- Это подполе в L, содержащее K.
Расширения Галуа (ключевая цель курса)
Теорема (будет доказана далее)
Пусть L/K — конечное расширение степени n, и G = Aut(L/K).
- Группа G конечна, и её порядок |G| ≤ n.
- Равенство |G| = n имеет место тогда и только тогда, когда поле инвариантов всей группы совпадает с K: Lᴳ = K.
Определение расширения Галуа
Конечное расширение L/K называется расширением Галуа, если порядок его группы автоморфизмов равен степени расширения: |Aut(L/K)| = [L : K].
- В этом случае группа автоморфизмов Aut(L/K) называется группой Галуа этого расширения.
- Пример: ℂ/ℝ — расширение Галуа степени 2 с группой Галуа из двух элементов.
Выводы:
- Расширения Галуа — это максимально симметричные конечные расширения (с наибольшим возможным числом автоморфизмов).
- Изучение их группы Галуа является центральной задачей, к которой будет подведено дальнейшее изложение курса.