Обратная матрица
После введения операции умножения матриц возникает задача нахождения неизвестного множителя по известному произведению. В алгебре чисел для этого используется деление, которое можно записать как умножение на обратное число. Аналогичную функцию в матричной алгебре выполняет обратная матрица, позволяющая решать матричные уравнения.
Определение обратной матрицы
Пусть A — квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными.
Обратной матрицей к матрице A называется матрица, обозначаемая A⁻¹, которая удовлетворяет соотношению:
A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E, где E — единичная матрица.
Единичная матрица E имеет тот же размер, что и A, с единицами на главной диагонали и нулями на всех остальных местах. Например, единичная матрица 3x3:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Метод вычисления обратной матрицы
Для квадратной невырожденной матрицы A обратная матрица A⁻¹ вычисляется по формуле:
A⁻¹ = (1 / det A) · Ã, где Ã — матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, но транспонированным образом.
Алгебраические дополнения к элементам строки матрицы A располагаются в соответствующем столбце матрицы Ã.
Это означает, что алгебраические дополнения элементов первого столбца матрицы A записываются в первую строку матрицы Ã, дополнения второго столбца — во вторую строку и так далее.
Пример вычисления
Дана матрица A размером 3x3. Требуется найти A⁻¹.
Шаг 1: Проверка определителя
Сначала вычисляется определитель матрицы A. Если он равен нулю, обратной матрицы не существует. В данном примере определитель не равен нулю.
Шаг 2: Составление матрицы алгебраических дополнений
Для каждого элемента матрицы A вычисляется его алгебраическое дополнение. Эти дополнения записываются не в естественном порядке, а построчно, формируя строки новой матрицы:
- Первая строка новой матрицы — это алгебраические дополнения элементов первого столбца матрицы A (A₁₁, A₂₁, A₃₁).
- Вторая строка — дополнения элементов второго столбца (A₁₂, A₂₂, A₃₂).
- Третья строка — дополнения элементов третьего столбца (A₁₃, A₂₃, A₃₃).
Шаг 3: Получение обратной матрицы
Полученная матрица из дополнений делится на определитель исходной матрицы A. Результатом является обратная матрица A⁻¹.
Шаг 4: Проверка корректности
Для проверки необходимо умножить исходную матрицу A на найденную A⁻¹. Если в результате получается единичная матрица E, вычисления выполнены верно. Проверка выполняется поэлементно, например, перемножая первую строку A на первый столбец A⁻¹ для получения элемента (1,1) произведения, и так далее.