Разбор пробника №34 перед ЕГЭ

Ключевые тезисы:

• Разбор последнего пробника перед курсом "Вспомнить всё".
• Решение всех задач варианта №34 с пояснениями оформления.
• Обсуждение подготовки к ЕГЭ и особенностей курса.

План подготовки и курс "Вспомнить всё"

Старт курса: 1 мая.
Программа курса включает: разбор заданий, теория, стримы с прогнозом за 2 дня до ЕГЭ, разбор пробников ЕГЭ-25 и ЕГЭ-24, разбор Дальнего Востока.
Доступ к материалам: файлы будут выложены 27 апреля в группе. Записи стримов будут доступны.
Продолжительность стримов: 4 часа с перерывом.
Цель курса: краткое повторение, закрепление и повышение шансов на экзамене.

Решение задач первой части (1-12)

Задача 1 (Теорема синусов)

В треугольнике ABC: AB = 3√2, ∠C = 135°. Найти радиус описанной окружности.
Решение: По теореме синусов: AB / sin(∠C) = 2R → R = (3√2 / sin135°) / 2. sin135° = √2/2 → R = 3.
Ответ: 3.

Задача 2 (Косинус угла между векторами)

Даны векторы a(3;4) и b(-4;-3). Найти косинус угла.
Решение: cosφ = (a·b) / (|a|·|b|). a·b = -24, |a|=5, |b|=5 → cosφ = -24/25 = -0.96.
Ответ: -0.96.

Задача 3 (Высота пирамиды)

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро = 6√2, сторона основания = 2√2. Найти высоту.
Решение: Радиус описанной окружности шестиугольника равен стороне = 2√2. Высота по теореме Пифагора: h = √((6√2)² - (2√2)²) = √(72 - 8) = √64 = 8.
Ответ: 8.

Задача 4 (Вероятность на циферблате)

Часы сломались. Найти вероятность, что часовая стрелка между отметками 7 и 1.
Решение: Благоприятных секторов (от 7 до 1) = 6, всего секторов = 12. P = 6/12 = 0.5.
Ответ: 0.5.

Задача 5 (Вероятность поражения цели)

Стрелок попадает с вероятностью 0.5. Найти минимальное число выстрелов для вероятности поражения ≥0.7.
Решение: Вероятность "уцелеть" (цель не поражена) должна быть ≤0.3. Для одного выстрела: P(промах)=0.5 >0.3. Для двух: P(два промаха)=0.25 ≤0.3 → достаточно.
Ответ: 2 выстрела.

Задача 6 (Логарифмическое уравнение)

Найти корень: log₃(2x-9) = 1.
Решение: По определению логарифма: 2x - 9 = 3¹ → 2x = 12 → x = 6.
Ответ: 6.

Задача 7 (Тригонометрическое выражение)

Найти значение: 21 - 42cos²66° + 21sin²66°.
Решение: Вынести -21: = -21(cos²66° - sin²66°) = -21cos132°.
Ответ: -21.

Задача 8 (Точки убывания функции)

По графику f(x) найти количество точек, где производная отрицательна (функция убывает).
Решение: На графике видно 4 точки (x₂, x₄, x₆, x₈).
Ответ: 4.

Задача 9 (Физическая задача на равноускоренное движение)

Угол намотки кабеля φ = Vt + βt²/2. При φ=2500, V=50, β=4 найти t.
Решение: 2500 = 50t + 2t² → t² + 25t - 1250 = 0. D=625+5000=5625=75² → t = (-25+75)/2 = 25.
Ответ: 25.

Задача 10 (Задача на движение по течению)

Теплоход проходит 775 км туда и обратно. Скорость в неподвижной воде 28 км/ч, стоянка 5 ч, возвращение через 61 ч. Найти скорость течения.
Решение: Время туда + стоянка + время обратно = 61. Уравнение: 775/(28+x) + 5 + 775/(28-x) = 61 → 775/(28+x) + 775/(28-x) = 56. После преобразований: 784 - x² = 775 → x²=9 → x=3.
Ответ: 3 км/ч.

Задача 11 (Абсцисса точки пересечения прямых)

Найти абсциссу пересечения двух линейных функций по графику.
Решение: Первая прямая: k = tgα = 1, b=4 → y = x+4. Вторая: k = 2, b=0 → y=2x. Приравниваем: 2x = x+4 → x=4.
Ответ: 4.

Задача 12 (Наименьшее значение функции)

Найти наименьшее значение y = 69cosx + 71x + 48 на [0; 3π/2].
Решение: Производная: y' = -69sinx + 71. Приравниваем к 0: sinx = 71/69 >1 → нет решений. Подставляем границы: y(0)=691+0+48=117; y(3π/2)=690+71*(3π/2)+48 — не минимальное.
Ответ: 117.

Решение задач второй части (13-19)

Ключевые тезисы:

• Задачи требуют нестандартных догадок (например, распознавание биссектрисы через равные хорды).
• Решение часто состоит из цепочки логических шагов: подобие треугольников, равенство отрезков, применение теорем.
• В задачах от Ященко вычисления могут быть намеренно усложнены.
• Для задач на стереометрию (призмы, сечения) ключевой приём — доказать перпендикулярность прямой к плоскости.
• Важно не только найти решение, но и грамотно его оформить.

Задача 13 (Тригонометрическое уравнение)

Решить: √3sin(3π/2 - x/2) + cosx + 1 = 0.
Решение: По формуле приведения: sin(3π/2 - x/2) = -cos(x/2). Уравнение: -√3cos(x/2) + cosx + 1 = 0. cosx = 2cos²(x/2)-1. После преобразований: cos(x/2)(2cos(x/2)-√3)=0.

1. cos(x/2)=0 → x/2 = π/2 + πn → x = π + 2πn.
2. cos(x/2)=√3/2 → x/2 = ±π/6 + 2πn → x = ±π/3 + 4πn.
   Отбор корней на отрезке [-4π; -5π/2]:

• Для x = π + 2πn: подходит x = -3π (при n=-2).
• Для x = ±π/3 + 4πn: подходит x = -π/3 (при n=-1).
  Ответ: в пункте Б: -3π и -π/3.

Важно: При отборе корней с периодом 4πn безопаснее использовать метод неравенств (без окружности), чтобы избежать проблем с проверкой.

Задача 15 (Показательное неравенство)

Решить: 27·45ˣ - 27·27ˣ - 12·15ˣ + 12·9ˣ ≤ 0.
Решение: Группировка и вынесение общего множителя (5ˣ - 3ˣ). После преобразований: (5ˣ - 3ˣ)(27·9ˣ - 12·3ˣ) ≤ 0. Разложение на множители: (5/3ˣ - 1)(3ˣ - 1/9)(3ˣ - 1/3) ≤ 0. Метод рационализации: (5/3 - 1)(x - 0)(x + 2)(x + 1) ≤ 0.
Ответ: x ∈ [-∞; -2] ∪ [-1; 0].

Оформление: Необходимо явно показать переход к рациональному неравенству, чтобы избежать снижения баллов.

Задача 16 (Оптимизация — задача про заводы)

Борису нужно произвести 70 утюгов. На первом заводе оплата 500 руб./час, на втором — 200 руб./час. Производство: t² часов → t утюгов. Найти минимальную сумму оплаты.
Решение:

1. x — утюги на первом заводе, y — на втором: x+y=70 → y=70-x.
2. Сумма оплаты: S = 500x² + 200y² = 500x² + 200(70-x)².
   Минимум функции на [0;70]. Производная: S' = 1400x - 28000 = 0 → x=20.
   S(20) = 500400 + 2002500 = 700000.
   Ответ: 700000 руб.

Задача 17 (Геометрия — описанная окружность)

В треугольнике ABC: AB=4, AC=3, BC=√37. На BC построен равносторонний ΔBDC. Точки A и D по разные стороны от BC.
Пункт А: Доказать, что вокруг ABDC можно описать окружность.
Решение: В ΔABC по теореме косинусов cos∠A = (9+16-37)/(234) = -1/2 → ∠A=120°. В равностороннем ΔBDC ∠D=60°. ∠A+∠D=180° → четырехугольник вписанный.

Пункт Б: Найти расстояние от точки пересечения диагоналей K до центра описанной окружности O.
Решение: Центр O лежит на высоте равностороннего ΔBDC. AK — биссектриса ∠BAC (углы равны, так как опираются на равные хорды BD и CD). Далее решение строится на цепочке логических шагов:

Разбор задачи на планиметрию (окружность и треугольник)

Идея решения:

• Ключевая догадка: Отрезок AK является биссектрисой угла BAC.
• Доказательство: BD = CD (по условию), следовательно, дуги BD и CD равны. Углы BAK и CAK опираются на эти равные дуги, значит, они равны. Следовательно, AK — биссектриса.

Ход решения:

1. Применяем теорему о биссектрисе в треугольнике ABC.
2. Находим отношение BK к KC (например, 4:3).
3. Выражаем BK как долю от BC: BK = (4/7) * BC.
4. Находим HK как разность отрезков BH и BK (где H — середина BC в равностороннем треугольнике).
5. Применяем теорему Пифагора в треугольнике EHK для нахождения EK.

Итог: После вычислений получается ответ: √481 / (7√3).

Задача 19 (Стереометрия — правильная треугольная призма)

Условие: В правильной треугольной призме на рёбрах взяты точки K и N. Требуется:

1. Доказать, что плоскость сечения (KMN) перпендикулярна боковой грани.
2. Найти площадь полученного сечения (пятиугольника).

Разбор стереометрической задачи

Пункт А: Доказательство перпендикулярности плоскостей

Стратегия: Использовать признак перпендикулярности плоскостей: если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

Построение и ход решения:

1. Строим сечение методом следов. Получается пятиугольник KPMTN.
2. Кандидат на перпендикуляр к боковой грани — отрезок KP (он лежит в нижнем основании).
3. Нужно доказать, что KP ⟂ AB (а значит, и всей боковой грани AA₁B₁B).
4. Вводим обозначения: AK = a, KB = b. Тогда B₁N = a, NA₁ = b (из условия отношения).
5. Через серию подобий треугольников (QB₁N ~ QBK, QB₁T ~ QBE) и равенства треугольников (C₁TM = CME) находим коэффициент подобия X = 2.
6. Рассматриваем треугольник KBE. Зная его стороны (KB = b, BE = 2b, угол B = 60°) и применяя теорему косинусов, находим KE.
7. Важный вывод: В треугольнике KBE выполняется теорема Пифагора, следовательно, угол KBE = 90°, то есть KP ⟂ AB.
8. Так как KP лежит в плоскости сечения и перпендикулярна боковой грани, плоскости перпендикулярны. Доказано.

Пункт Б: Нахождение площади сечения

Метод: Использование связи площади фигуры и площади её проекции.

• Площадь проекции / Площадь сечения = cos(φ), где φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции (основания).
• Находим площадь проекции сечения на основание (пятиугольника).
• Зная угол наклона плоскости сечения, находим его косинус.
• Вычисляем истинную площадь сечения.

Итог: После длительных вычислений площадь сечения равна 63√3.

Общие выводы и советы по подготовке

• Типовые приёмы: В задачах ЕГЭ, особенно в части с развёрнутым ответом (№14, 17-19), часто повторяются идеи и методы решения, даже если условия новые.
• Сложность оформления: Иногда главная трудность — не найти решение, а грамотно и полно его записать, обосновав каждый шаг.
• Курс "Вспомнить всё": Поможет систематизировать подходы к задачам одного типа (например, "доказать равенство отрезков" или "доказать параллельность").
• План подготовки: Включает разбор пробников, работу над типичными ошибками в оформлении и тренировку на тестах с "подвохами".
• ⏱ Распределение сил: Интенсивность подготовки ("Вспомнить всё" + другие задания) зависит от индивидуальных возможностей. Времени до экзамена ещё достаточно для эффективной работы.